Первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел Как решать 1 замечательный предел
Первый замечательный предел выглядит следующим образом: lim x → 0 sin x x = 1 .
В практических примерах часто встречаются модификации первого замечательного предела: lim x → 0 sin k · x k · x = 1 , где k – некоторый коэффициент.
Поясним: lim x → 0 sin (k · x) k · x = п у с т ь t = k · x и з x → 0 с л е д у е т t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1 .
Следствия первого замечательного предела:
- lim x → 0 x sin x = lim x → 0 = 1 sin x x = 1 1 = 1
- lim x → 0 k · x sin k · x = lim x → 0 1 sin (k · x) k · x = 1 1 = 1
Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций.
Рассмотрим некоторые задачи на нахождение предела по первому замечательному пределу; дадим подробное описание решения.
Пример 1
Необходимо определить предел, не используя правило Лопиталя: lim x → 0 sin (3 x) 2 x .
Решение
Подставим значение:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0
Мы видим, что возникла неопределенность нуль делить на нуль. Обратимся к таблице неопределенностей, чтобы задать метод решения. Сочетание синуса и его аргумента дает нам подсказку об использовании первого замечательного предела, однако для начала преобразуем выражение. Произведем умножение числителя и знаменателя дроби на 3 x и получим:
lim x → 0 sin (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x · sin (3 x) 3 x · (2 x) = lim x → 0 sin (3 x) 3 x · 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 · sin (3 x) 3 x
Опираясь на следствие из первого замечательного предела, имеем: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1 .
Тогда приходим к результату:
lim x → 0 3 2 · sin (3 x) 3 x = 3 2 · 1 = 3 2
Ответ: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 3 2 .
Пример 2
Необходимо найти предел lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 .
Решение
Подставим значения и получим:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 · 0) 3 · 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0
Мы видим неопределенность нуль делить на нуль. Произведем преобразование числителя с использованием формул тригонометрии:
lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2
Видим, что теперь здесь возможно применение первого замечательного предела:
lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 · sin x x · sin x x = 2 3 · 1 · 1 = 2 3
Ответ: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .
Пример 3
Необходимо произвести вычисление предела lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x .
Решение
Подставим значение:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = a r c sin (4 · 0) 3 · 0 = 0 0
Мы видим неопределенность делить нуль на нуль. Произведем замену:
a r c sin (4 x) = t ⇒ sin (a r c sin (4 x)) = sin (t) 4 x = sin (t) ⇒ x = 1 4 sin (t) lim x → 0 (a r c sin (4 x)) = a r c sin (4 · 0) = 0 , значит t → 0 при x → 0 .
В таком случае, после замены переменной, предел принимает вид:
lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 · 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 · t sin t = 4 3 · 1 = 4 3
Ответ: lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 4 3 .
Для более полного понимания материала статьи следует повторить материал темы «Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и решения».
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:
$ \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.
Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.
Формула и следствия
Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e, \text{ где } e \approx 2.718 $$
Из формулы вытекают следствия , которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{k}{x} \bigg)^x = e^k, \text{ где } k \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{f(x)} \bigg)^{f(x)} = e $$ $$ \lim_{x \to 0} \bigg (1 + x \bigg)^\frac{1}{x} = e $$
Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.
Примеры решений
Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.
| Пример 1 |
| Найти предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} $ |
| Решение |
|
Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^\infty $$ Найдем предел основания: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+4}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{x+4}{x+3} - 1 \bigg)^{x+3} = \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ |
| Пример 4 |
| Решить предел $ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} $ |
| Решение |
|
Находим предел основания и видим, что $ \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 \bigg) ^{3x} = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{6}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ \frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{\frac{3x^2-2}{6} \cdot \frac{6}{3x^2-2}\cdot 3x} = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ \lim_{x\to \infty} \frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем: |
| Ответ |
| $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = 1 $$ |
Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.
В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.
Формула второго замечательного предела имеет вид lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Другая форма записи выглядит так: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1 ∞ , т.е. единицей в бесконечной степени.
Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.
Пример 1
Найдите предел lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Решение
Подставим нужную формулу и выполним вычисления.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Если x → ∞ , тогда t → - ∞ .
Посмотрим, что у нас получилось после замены:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Ответ: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Пример 2
Вычислите предел lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Решение
Подставим бесконечность и получим следующее.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
После этого предел приобретает следующий вид:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Заменяем переменные. Допустим, что t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; если x → ∞ , то t → ∞ .
После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.
Ответ: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Пример 3
Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
При замене t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Ответ: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Выводы
Неопределенность 1 ∞ , т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов
.
имеет вид .
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.
Необходимо вычислить предел
Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.
Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:
Получаем неопределенность .
Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:
Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:
Подставим решение первого замечательного примера и получаем:
Упрощаем дробь:
Ответ: 7/3.
Как видите – все очень просто.
Имеет вид 
, где e = 2,718281828… – это иррациональное число.
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .
Необходимо вычислить предел
Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.
Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:
Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :
Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:
Не забываем выделять наш замечательный предел:
Вот такие действительно замечательные пределы
!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам
, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.
Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.
Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.
Мало информации? - Вы можете !
Можно писать математические вычисления в блокнотах. В блокноты с логотипом (http://www.blocnot.ru) индивидуальным писать намного приятней.
Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
\begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\end{equation}
Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e\end{equation}
Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное - выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела . Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}$.
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. $$
При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени - к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} $$
Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. $$
Так как $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}$, то:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} $$
Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} $$
Таким образом,
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} $$
Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле . Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} $$
Отдельно рассмотрим предел дроби $\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot\left(4+\frac{7}{x}\right)}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8. $$
Ответ : $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)$.
Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то:
$$ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $$
Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1$.
Пример №5
Найти предел $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Так как $\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}}\right)^{\frac{6\cdot(t+2)}{t+4}} =e^3. $$
Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\&t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{6\cdot(2t+1)}{4t+1}} =e^3. $$
Ответ : $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} $.
Выясним, к чему стремится выражение $\frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $x\to\infty$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. $$
Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1$.