Условный экстремум.

Экстремумы функции нескольких переменных

Метод наименьших квадратов.

Локальный экстремум ФНП

Пусть дана функция и = f (Р), РÎDÌR n и пусть точка Р 0 (а 1 , а 2 , ..., а п ) –внутренняя точка множества D.

Определение 9.4.

1) Точка Р 0 называется точкой максимума функции и = f (Р), если существует окрестность этой точки U(P 0) Ì D такая, что для любой точки Р(х 1 , х 2 , ..., х п )Î U(P 0) , Р¹Р 0 , выполняется условие f (P) £ f (P 0) . Значение f (P 0) функции в точке максимума называется максимумом функции и обозначается f (P 0) = max f (P) .

2) Точка Р 0 называется точкой минимума функции и = f (Р), если существует окрестность этой точки U(P 0)Ì D такая, что для любой точки Р(х 1 , х 2 , ..., х п )ÎU(P 0), Р¹Р 0 , выполняется условие f (P) ³ f (P 0) . Значение f (P 0) функции в точке минимума называется минимумом функции и обозначается f (P 0) = min f (P).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремумов , значения функции в точках экстремумов называются экстремумами функции.

Как следует из определения, неравенства f (P) £ f (P 0) , f (P) ³ f (P 0) должны выполняться только в некоторой окрестности точки Р 0 , а не во всей области определения функции, значит, функция может иметь несколько однотипных экстремумов (несколько минимумов, несколько максимумов). Поэтому определенные выше экстремумы называют локальными (местными) экстремумами.

Теорема 9.1.(необходимое условие экстремума ФНП)

Если функция и = f (х 1 , х 2 , ..., х п ) имеет экстремум в точке Р 0 , то ее частные производные первого порядка в этой точке либо равны нулю, либо не существуют.

Доказательство. Пусть в точке Р 0 (а 1 , а 2 , ..., а п ) функция и = f (P) имеет экстремум, например, максимум. Зафиксируем аргументы х 2 , ..., х п , положив х 2 =а 2 ,..., х п = а п . Тогда и = f (P) = f 1 ((х 1 , а 2 , ..., а п ) есть функция одной переменной х 1 . Так как эта функция имеет при х 1 = а 1 экстремум (максимум), то f 1 ¢=0или не существует при х 1 =а 1 (необходимое условие существования экстремума функции одной переменной). Но , значит или не существует в точке Р 0 – точке экстремума. Аналогично можно рассмотреть частные производные по остальным переменным. ЧТД.

Точки области определения функции, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Как следует из теоремы 9.1, точки экстремума ФНП следует искать среди критических точек функции. Но, как и для функции одной переменной, не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Теорема 9.2.(достаточное условие экстремума ФНП)

Пусть Р 0 – критическая точка функции и = f (P) и – дифференциал второго порядка этой функции. Тогда

а) если d 2 u (P 0) > 0 при , то Р 0 – точка минимума функции и = f (P);

б) если d 2 u (P 0) < 0 при , то Р 0 – точка максимума функции и = f (P);

в) если d 2 u (P 0) не определен по знаку, то Р 0 не является точкой экстремума;

Эту теорему рассмотрим без доказательства.

Заметим, что в теореме не рассмотрен случай, когда d 2 u (P 0) = 0 или не существует. Это означает, что вопрос о наличие экстремума в точке Р 0 при таких условиях остается открытым – нужны дополнительные исследования, например, исследование приращения функции в этой точке.

В более подробных курсах математики доказывается, что в частности для функции z = f (x , y ) двух переменных, дифференциал второго порядка которой есть сумма вида

исследование наличия экстремума в критической точке Р 0 можно упростить.

Обозначим , , . Составим определитель

.

Оказывается:

d 2 z > 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка минимума, если A (P 0) > 0 и D(Р 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A (P 0) < 0 , а D(Р 0) > 0;

если D(Р 0) < 0, то d 2 z в окрестности точки Р 0 меняет знак и экстремума в точке Р 0 нет;

если же D(Р 0) = 0, то также требуются дополнительные исследования функции в окрестности критической точки Р 0 .

Таким образом, для функции z = f (x , y ) двух переменных имеем следующий алгоритм (назовем его «алгоритмом D») отыскания экстремума:

1) Найти область определения D(f ) функции.

2) Найти критические точки, т.е. точки из D(f ), для которых и равны нулю или не существуют.

3) В каждой критической точке Р 0 проверить достаточные условия экстремума. Для этого найти , где , , и вычислить D(Р 0) и А (Р 0).Тогда:

если D(Р 0) >0 , то в точке Р 0 есть экстремум, причем, если А (Р 0) > 0 – то это минимум, а если А (Р 0) < 0 – максимум;

если D(Р 0) < 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Если D(Р 0) = 0, то нужны дополнительные исследования.

4) В найденных точках экстремума вычислить значение функции.

Пример1.

Найти экстремум функции z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Решение. Область определения этой функции – вся координатная плоскость. Найдем критические точки.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Найдем

6х , = -3, = 48у и = 288ху­ – 9.

Тогда D(Р 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – в точке Р 1 есть экстремум, а так как А (Р 1) = 3 >0, то этот экстремум – минимум. Значит, min z = z (P 1) = .

Пример 2.

Найти экстремум функции .

Решение: D(f ) =R 2 . Критические точки: ; не существует при у = 0, значит Р 0 (0,0) – критическая точка данной функции.

2, = 0, = , = , но D(Р 0) не определено, поэтому исследование его знака невозможно.

По этой же причине невозможно применить теорему 9.2 непосредственно – d 2 z в этой точке не существует.

Рассмотрим приращение функции f (x , y ) в точке Р 0 . Если Df =f (P) – f (P 0)>0 " Р, то Р 0 точка минимума, если же Df < 0, то Р 0 – точка максимума.

Имеем в нашем случае

Df = f (x , y ) – f (0, 0) = f (0+Dx ,0+Dy ) – f (0, 0) = .

При Dx = 0,1 и Dy = -0,008 получим Df = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx = 0,1 и Dy = 0,001 Df = 0,01 + 0,1 > 0, т.е. в окрестности точки Р 0 не выполняются ни условие Df <0 (т.е. f (x , y ) < f (0, 0) и значит, Р 0 – не точка максимума), ни условие Df >0 (т.е. f (x , y ) > f (0, 0) и тогда Р 0 – не точка минимума). Значит, по определению экстремума, данная функция экстремумов не имеет.

Условный экстремум.

Рассмотренный экстремум функции называют безусловным , так как на аргументы функции не налагаются никакие ограничения (условия).

Определение 9.2. Экстремум функции и = f (х 1 , х 2 , ... , х п ), найденный при условии, что ее аргументы х 1 , х 2 , ... , х п удовлетворяют уравнениям j 1 (х 1 , х 2 , ... , х п ) = 0, …, j т (х 1 , х 2 , ... , х п ) = 0, где P (х 1 , х 2 , ... , х п ) Î D(f ), называется условным экстремумом .

Уравнения j k (х 1 , х 2 , ... , х п ) = 0 , k = 1, 2,..., m , называются уравнениями связи .

Рассмотрим функции z = f (x , y ) двух переменных. Если уравнение связи одно, т.е. , то отыскание условного экстремума означает, что экстремум ищется не во всей области определения функции, а на некоторой кривой , лежащей в D(f ) (т.е. ищутся не самые высокие или самые низкие точки поверхности z = f (x , y ), а наиболее высокие или низкие точки среди точек пересечения этой поверхности с цилиндром , рис 5).

Условный экстремум функции z = f (x , y ) двух переменных можно найти следующим способом(метод исключения ). Из уравнения выразить одну из переменных как функцию другой (например, записать ) и, подставив это значение переменной в функцию , записать последнюю как функцию одной переменной (в рассмотренном случае ). Найти экстремум полученной функции одной переменной.

Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции, то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, - локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если, может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции, ограничившись двумя членами:

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и. Тогда

Обозначим

Тогда приращение функции примет вид:

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

Где или; ,

1. Пусть и, т.е. или.

2. Приращение функции умножим и разделим на, получим:

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

5. Поэтому если а значит, и, то и, следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и, то, согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

2. Рассмотрим квадратный трехчлен, его дискриминант, .

3. Если, то существуют такие точки, что многочлен

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

следовательно, существует - окрестность точки, что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

6. Рассмотрим - окрестность точки.

Выберем любое значение, так что точка. Полагая, что в формуле приращения функции

Что, получим:

7. Так как, то.

8. Рассуждая аналогично для корня, получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой, следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет.

Условный экстремум функции двух переменных

При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример №1. Графиком функции является верхняя полусфера (рис. 2).

Рис. 2.

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке, лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M 1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Определение 1. Говорят, что, где имеет в точке, удовлетворяющей уравнению, условный или относительный максимум (минимум): если для любой, удовлетворяющей уравнению, выполняется неравенство

Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.

Теорема

Если функции и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки, и частная производная, и точка является точкой условного экстремума функции относительно уравнения связи, то определитель второго порядка равен нулю:

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная, а значение функции, то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или.

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

3. Уравнение связи можно представить в таком виде, значит

4. Умножим уравнение (2) на, а (3) на и сложим их

Следовательно, при

произвольном. ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем. Отсюда легко проверить, что достигает максимума при. Но тогда из уравнения связи. Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2. Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи.

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

Составим определитель второго порядка:

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

значит, существует четыре точки условного экстремума функции с координатами: .

Пример №3. Найти точки экстремума функции.

Приравнивая частные производные к нулю: , находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь,. Следовательно, и точка (0, 0) не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (Рис. 3) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.

Рис. 3.

Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

1. Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

2. Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

3. В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

4. Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

5. В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

6. Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

7. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

8. Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра: . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной.

Пусть функция z - /(х, у) определена в некоторой области D и пусть Мо(хо, Уо) - внутренняя точка этой области. Определение. Если существует такое число, что для всех, удовлетворяющих условиям, верно неравенство то точка Мо(хо, уо) называется точкой локального максимума функции /(х, у); если же для всех Дх, Ду, удовлетворяющих условиям | то точка Мо(хо,уо) называется тонкой локального минимума. Иными словами, точка М0(х0, у0) есть точка максимума или минимума функции /(х, у), если существует 6-окрестность точки А/о(хо,уо) такая, что во всех точках М(х, у) этой окрестности приращение функции сохраняет знак. Примеры. 1. Для функции точка - точка минимума (рис. 17). 2. Для функции точка 0(0,0) является точкой максимума (рис.18). 3. Для функции точка 0(0,0) является точкой локального максимума. 4 В самом деле, существует окрестность точки 0(0, 0), например, круг радиуса j (см. рис. 19), во всякой точке которого, отличной отточки 0(0,0), значение функции /(х,у) меньше 1 = Мы будем рассматривать только точки строгдго максимума и минимума функций, когда строгое неравенство или строгое неравенство выполняется для всех точек М(х} у) из некоторой проколотой 6-окрестности точки Mq. Значение функции в точке максимума называется максимумом, а значение функции в точке минимума - минимумом этой функции. Точки максимума и точки минимума функции называются точками экстремума функции, а сами максимумы и минимумы функции - ее экстремумами. Теорема 11 (необходимое условие экстремума). Если функция Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций имеет экстремум в точке то в этой точке каждая частная производная и щ либо обращается в нуль, либо не существует. Пусть в точке М0(х0, уо) Функция z = f(x} у) имеет экстремум. Дадим переменной у значение уо. Тогда функция z = /(х, у) будет функцией одной переменной х\ Так как при х = хо она имеет экстремум (максимум или минимум, рис. 20), то ее производная по при х = «о, | (*о,л>)" Равна нулю, либо не существует. Аналогично убеждаемся в том, что) или равна нулю, или не существует. Точки, в которых = 0 и щ = 0 либо не существуют, называются критическими точками функции z = Дх, у). Точки, в которых $£ = щ = 0, называются также стационарными точками функции. Теорема 11 выражает лишь необходимые условия экстремума, не являющиеся достаточными. Пример. Функция Рис. 18 Рис.20 иммт производные которые обращаются а нуль при. Но эта функция а тонка на имват «страмума. Действительно, функция равна нулю в точке 0(0,0) и принимает в точках М(х,у), как угодно близких к точке 0(0,0), квк положительные, так и отрицательные значения. Для нее так что в точках в точках (0, у) при сколь угодно малых Точку 0(0,0) указанного типа называют точкой мини-макса (рис. 21). Достаточные условия экстремума функции двух переменных выражаются следующей теоремой. Теореме 12 (достаточные условии экстремума фужцим д§ух переменных). Пустьточка Мо(хо» Уо) является стационарной точкой функции f(x, у), и в некоторой окрестности точки / включая саму точку Мо, функция /(г, у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда". 1) в точке Mq(xq, Уо) функция /(ж, у) имеет максимум, если в этой точке определитель 2) в точке Мо(я0, Уо) функция /(ж, у) имеет минимум, если в точке Мо(го, Уо) функция /(ж, у) не имеет экстремума, если D(xо, уо) < 0. Если же то в точке Мо(жо> Уо) экстремум функции f(x, у) ложет быть, о может и не быть. В этом случае требуется дальнейшее исследование. м Ограничимся доказательством утверждений 1) и 2) теоремы. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции /(я, у): где. По условию откуда видно, что знак приращения Д/ определяется знаком трехчлена в правой части (1), т. е. знаком второго^дифференциала d2f. Обозначим для краткости. Тогда равенство (l) можно записать так: Пусть в точке MQ(so, Уо) имеем.. Так как по условию частные производные второго порядка от функции /(s, у) непрерывны, то неравенство (3) будет иметь место и в некоторой окрестности точки M0(s0,yo). Если выполнено условие (в точке Л/0, и в силу непрерывности производная /,z(s,y) будет сохранять знак в некоторой окрестности точки Af0. В области,где А Ф 0, имеем Отсюда видно, что если ЛС - В2 > 0 в некоторой окрестности точки М0(х0) у0), то знак трехчлена ААх2 -I- 2ВАхАу + СДу2 совпадает со знаком А в точке (so, Уо) (а также и со знаком С, поскольку при АС - В2 > 0 А и С не могут иметь разные знаки). Так как знак суммы AAs2 + 2ВАхАу + САу2 в точке (s0 + $ Ах, уо + 0 Ду) определяет знак разности то мы приходим к следующему выводу: если для функции /(s,y) в стационарной точке (s0, Уо) выполнено условие, то для достаточно малых || будет выполняться неравенство. Тем самым, в точке (sq, Уо) функция /(s, у) имеет максимум. Если же в стационарной точке (s0, уо) выполнено условие),то для всех достаточно малых |Дг| и |Ду| верно неравенство, значит, в точке (so,yo) функция /(s, у) имеет минимум. Примеры. 1. Исследовать на экстремум функцию 4 Пользуясь необходимыми условиями экстремума, разыскиваем стационарные точки функции. Для этого находим частные производные, щ и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений откуда - стационарная точка. Воспользуемся теперь теоремой 12. Имеем Значит, в точке Мл экстремум есть. Поскольку, то это - минимум. Если преобразовать функцию г к виду то нетрудно заметить, что правая часть («) будет минимальной, когда - абсолютный минимум данной функции. 2. Исследовать на экстремум функцию Находим стационарные точки функции, для чего составляем систему уравнений Отсюда так что точке - стационарная. Так как и в силу теоремы 12 в точке М экстремума нет. * 3. Исследовать на экстремум функцию Находим стационарные точки функции. Из системы уравнений получаем, что, так что стационарной является точка. Далее имеем так что и теорема 12 не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии экстремума. Поступим поэтому так. Для функции о всех точках, отличных отточки так что, по определению, а точке Л/о(0,0) функция г имеет абсолютный минимум. Аналогичными раосухдениями устанавливаем, что функция имеет в точке) максимум, а функция в точке экстремума не имеет. Пусть функция п независимых переменных дифференцируема в точке Точка Мо называется стационарной точкой функции если Теорема 13 (достеточнме услоам я экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности тонки Мц{хи..., которая является стационарной тонкой функции, если квадратинная форма (второй дифференциал функции f в тонке является положительно определенной {отрицательно определенной), тоточкойминимума (соответственно, тонкой максимума) функции f является тонка Если же квадратинная форма (4) является знакопеременной, то в тонке ЛГ0 экстремума нет. Для того что бы установить, будет ли квадратичная форма (4) положггельноили отрицательно определенной, можно воспользоваться, например, критерием Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы. 15.2. Условный экстремум До сих пор мы занимались отысканием локальных экстремумов функции во всей области ее определения, когда аргументы функции не связаны никакими дополнитель ными условиями. Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто встречаются задачи на отыскание так называемых условных экстремумов. Пусть функция z = /(х, у) определена в области D. Допустим, что в этой области задана кривая L, и нужно найти экстремумы функции f(x> у) только среди тех ее значений, которые соответствуют точкам кривой L. Таже экстремумы называют условными экстремумами функции z = f{x} у) на кривой L. Определение Говорят, что в точке, лежащей на кривой L, функция /(ж, у) имеет условный максимум (минимум), если неравенство соответственно выполняется вовсехточкахМ (s, у) кривой L, принадлежащих некоторой окрестности точки М0(х0, Уо) и отличных от точки М0 (Если кривая L задана уравнением то задача о нахождении условного экстремума функции г - f{x,y) на кривой! может быть сформулирована так: найти экстремумы функции х = /(я, у) в области D при условии, что Таким образом, при нахождении условных экстремумов функции z = у) аргументы гну уже нельзя рассматривать как независимые переменные: они связаны между собой соотношением у) = 0, которое называют уравнением связи. Чтобы пояснить различив м«*Д у безусловным и условным экстремумом, рвссмотрим твкой пример, безусловный максимум функции (рис.23) рвеен единице и достигается в точке (0,0). Ему соответствует точив М - вершине пврвбо-лоида, Присоединим уравнение связи у = j. Тогда условный максимум будет, очевидно, рввен Он достигается а точке (о,|), и ему отввчвет вершине Afj пврвболы, являющейся линией пересечения пврвболоида с плоскостью у = j . В случае безусловного мвксимумв мы имеем мвксимвльную аппликату среди всех вппликвт поверхности * = 1 - л;2 ~ у1; слумвв условного - только среди вллликвт точек пвраболоидв, отввчвющих точке* прямой у = j не плоскости хОу. Один из методов отыскания условного экстремума функции при наличи и связи состоит в следующем. Пусть уравнение связи у)- О определяет у как однозначную дифференцируемую функцию аргумента х: Подставляя в функцию вместо у функцию, получаем функцию одного аргумента в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции является искомым условным экстремумом. Пример. Найти экстремум функции при условии Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций А Из уравнения связи (2") находим у = 1-х. Подставляя это значение у в (V), получим функцию одного аргумента х: Исследуем ее на экстремум: откуда х = 1 - критическая точка; , так что доставляет условный минимум функции г {рис.24). Укажем другой способ решения задачи об условном экстремуме, называемый методом множитмей Лагран-жа. Пусть есть точка условного экстремума функции при наличии связи Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию в некоторой окрестности точки хй. Считая, что получаем, что производная по ж от функции / (г, ip(x)) в точке xq должна быть равна нулю или, что равносильно этому, должен быть равен нулю дифференциал от f(x, у) в точке Мо" О) Из уравнения связи имеем (5) Умножая последнее равенство на неопределенный пока числовой множитель А и складывая почленно с равенством (4), будем иметь (считаем, что). Тогда в силу произвольности dx получим Равенства (6) и (7) выражают необходимые условия безусловного экстремума в точке функции которая называется функцией Лагранжа. Таким образом, точка условного экстремума функции /(х, у), если, есть обязательно стационарная точка функции Лагранжа где А - некоторый числовой коэффициент. Отсюда получаем правило дЛя отыскания условных экстремумов: чтобы найти точки, которые могут быть точками усювного экстремума функции при наличии связи 1) составляем функцию Лагранжа, 2) приравнивая нулю производные и Щ этой функции и присоединяя к полученным уравнениям уравнение связи, получаем систему из трех уравнений из которой находим значения А и координаты х, у возможных точек экстремума. Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа для рассматриваемойсистемы значений x0, Уо, А, полученной из (8) при условии, что Если, то в точке (х0, Уо) функция /(х,у) имеет условный максимум; если d2F > 0 - то условный минимум. В частности, если в стационарной точке (хо, J/o) определитель D для функции F(x, у) положителен, то в точке (®о, Уо) имеется условный максимум функции /(х, у), если, и условный минимум функции /(ж, у), если Пример. Вновь обратимся к условиям предыдущего примера: найти экстремум функции при условии, что х + у = 1. Будем решать задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид Для отыскания стационарных точек составляем систему Из первых двух уравнений системы получаем, что х = у. Затем из третьего уравнения системы (уравнения связи) находим, что х - у = j - координаты точки возможного экстремума. При этом (указывается, что А = -1. Таким образом, фунщия Лагранжа. есть точка условного минимума функции * = х2 + у2 при условии Отсутствие безусловного экстремума для функции Л агранжа.Р(х, у) еще не означает отсутствия условного экстремумадля функции /(ж, у) при наличии связи Пример. Найти экстремум функции при условии у 4 Составляем функцию Лагранжа и выписываем систему для определения А и координат возможных точек экстремума: Из первых двух уравнений получаем х + у = 0 и приходим к системе откуда х = у = А = 0. Таким образом, соответствующая функция Лагранжа имеет вид В точке (0,0) функция F(x, у; 0) не имеет безуслов ного экстремума, однако условный экстремум функции г = ху. когда у = х, имеется. Действительно, в этом случае г = х2. Отсюда видно, что в точке (0,0) есть условный минимум. » Метод множителей Лагранжа переносится на случай функций любого числа аргументов/ Пусть ищется экстремум функции при наличии уравнений связи Состааляе м функцию Лагранжа где А|, Аз,..., А„, - неопределенные постоянные множители. Приравнивая нулю все частные производные первого порядка от функции F и присоединяя к полученным уравнениям уравнения связи (9), получим систему n + m уравнений, из которых определяем Аь А3|..., Ат и координаты х\} х2) . »хп возможных точек условного экстремума. Вопрос о том, являются ли найденные по методу Лагранжа точки действительно точками условного экстремума зачастую может быть решен на основании соображений физического или геометрического характера. 15.3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций Пусть требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции z = /(х, у), непрерывной в некоторой замннугой ограниченной области D. По теореме 3 в этой области найдется точка (хо, Уо), в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка (хо, у0) лежит внутри области D, то в ней функция / имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди критических точек функции /(х, у). Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция /(х, у) может достигать и на границе области. Поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение, принимаемое функцией z = /(х, у) в ограниченной замкнутой области 2), нужно найти все максимумы (минимумы) функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее (наименьшее) значение функции на границе этой области. Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет искомым наибольшим (наименьшим) значением функции z = /(х,у) в области 27. Покажем, как это делается в случае дифференцируемой функции. Прммр. Найти наибольшее и наименьшее значения функции области 4 Находим критические точки функции внутри области D. Для этого составляем систему уравнений Отсюда получаем х = у « 0, так что точка 0(0,0) - критическая точка функции х. Так как Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе Г области D. На части границы имеем так что у = 0 - критическая точка, и так как = то в этой точке функция z = 1 + у2 имеет минимум, равный единице. На концах отрезка Г», в точках (, имеем. Пользуясь соображениями симметрии, те же результаты получаем для других частей границы. Окончательно получаем: наименьшее значение функции z = х2+у2 в области "Б равно нулю и достигается оно во внутренней точке 0(0, 0) области, а наибольшее значение этой фунмции, равное двум, достигается в четырех точках границы (рис.25) Рис.25 Упражнения Найдите область определения функций: Постройте линии уровня функций: 9 Найдите поверхности уровня функций трех независимых переменных: Вычислите пределы функций: Найдите частные производные функций и их полные дифференциалы: Найдите производные сложных функций: 3 Найдите J. Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций 34. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите и функций: 35. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите |J и функций: Найдите jj функций, заданных неявно: 40. Найдите угловой коэффициент касательной кривой в точке пересечения ее с прямой х = 3. 41. Найдите точки, в которых касательная кривой х параллельна оси Ох. . В следующих задачах найдите и Ц: Напишите уравнения касательной плоскости и нормали поверхности: 49. Составьте уравнения касательных плоскостей поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 21, параллельных плоскости х + 4у + 6z = 0. Найдите три-четыре первых члена разложения по формуле Тейлора: 50. у в окрестности точки (0, 0). Пользуясь определением экстремума функции, исследуйте на экстремум следующие функции:). Используя достаточные условия экстремума функции двух переменных, исследуйте на экстремум функции: 84. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 - у2 в замкнутом круге 85. Найдите наибольшееинаименьшеезначенияфункции* = х2у(4-х-у) в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х + у = б. 88. Определите размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую поверхность, при условии, что его объем равен V. 87. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего приданной полной поверхности 5 максимальный объем. Ответы 1. и | Квадрат, образованный отрезками прямых х включая его стороны. 3. Семейство концентрических колец 2= 0,1,2,... .4. Вся плоскость за исключением точек прямых у. Часть плоскости, расположенная вуше параболы у = -х?. 8. Точки окружности х. Вся плоскость за исключением прямых х Подкоренное выражение неотрицательно в двух случаях j * ^ или j х ^ ^ что равносильно бесконечной серии неравенств соответственна Область определения - заштрихованные квадраты (рис.26); л что равносильно бесконечной серии Функция определена в точках. а) Прямые, параллельные прямой х б) концентрические окружности с центром в начале координат. 10. а) параболы у) параболы у а) параболы б)гиперболы | .Плоскости xc. 13.Прим -одно-полостные гиперболоиды вращения вокруг оси Oz; при и - двуполостные гиперболоиды вращения вокруг оси Oz, оба семейства поверхностей разделяет конус; Предела не существует, б) 0. 18. Положим у = kxt тогда z lim z = -2, так что заданная функция в точке (0,0) предела не имеет. 19. а) Точка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Линия разрыва - окружность х2 + у2 = 1; б) линия разрыва - прямая у = х. 21. а) Линии разрыва - координатные оси Ох и Оу; б) 0 (пустое множество). 22. Все точки (т,п),гдет и п -целые числа

Определение1 : Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если существует такая окрестность точки, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции < 0.

Определение2 : Говорят, что функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки, для которой для всякой точки M с координатами (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0.

Определение 3 : Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума .

Условные Экстремумы

При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy . Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L , находящихся вблизи точки P . Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L . В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L .

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума ) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции является верхняя полусфера (Приложение 3 (Рис 3)).

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0 ), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке, лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M 1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением (x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, (x)) = Ф(х).

Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.

Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда

Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.

Очень просто решается задача на условный экстремум и тогда, когда уравнение связи можно представить параметрическими уравнениями х=х(t), y=y(t). Подставляя выражения для х и у в данную функцию, снова приходим к задаче отыскания экстремума функции одной переменной.

Если уравнение связи имеет более сложный вид и нам не удается ни явно выразить одну переменную через другую, ни заменить его параметрическими уравнениями, то задача отыскания условного экстремума становится более трудной. Будем по-прежнему считать, что в выражении функции z= f(x, y) переменная (x, y) = 0. Полная производная от функции z= f(x, y) равна:

Где производная y`, найдена по правилу дифференцирования неявной функции. В точках условного экстремума найденная полная производная должна ровняться нулю; это дает одно уравнение, связывающее х и у. Так как они должны удовлетворять еще и уравнению связи, то мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

Преобразуем эту систему к гораздо более удобной, записав первое уравнение в виде пропорции и введя новую вспомогательную неизвестную:

(знак минус перед поставлен для удобства). От этих равенств легко перейти к следующей системе:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

которая вместе с уравнением связи (x, y) = 0 образует систему трех уравнений с неизвестными х, у и.

Эти уравнения (*) легче всего запомнить при помощи следующего правила: для того, чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции

Z= f(x, y) при уравнении связи (x, y) = 0, нужно образовать вспомогательную функцию

Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)

Где -некоторая постоянная, и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанная система уравнений доставляет, как правило, только необходимые условия, т.е. не всякая пара значений х и у, удовлетворяющая этой системе, обязательно является точкой условного экстремума. Достаточные условия для точек условного экстремума я приводить не стану; очень часто конкретное содержание задачи само подсказывает, чем является найденная точка. Описанный прием решения задач на условный экстремум называется методом множителей Лагранжа.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

$$ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right. $$

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F < 0$, то условный максимум.

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: $\varphi_{x}^{"}dx+\varphi_{y}^{"}dy=0$, $dy=-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx$, поэтому в любой стационарной точке имеем:

$$d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dx\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)+F_{yy}^{""}\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)^2=\\ =-\frac{dx^2}{\left(\varphi_{y}^{"} \right)^2}\cdot\left(-(\varphi_{y}^{"})^2 F_{xx}^{""}+2\varphi_{x}^{"}\varphi_{y}^{"}F_{xy}^{""}-(\varphi_{x}^{"})^2 F_{yy}^{""} \right)$$

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

Красным цветом выделены элементы определителя $\left| \begin{array} {cc} F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|$, который является гессианом функции Лагранжа. Если $H > 0$, то $d^2F < 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F > 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть

$$ H=-\left|\begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right| $$

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H < 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

1. Составить функцию Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решить систему $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right.$
3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
   • Составить определитель $H$ и выяснить его знак
   • С учетом уравнения связи вычислить знак $d^2F$

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных

Допустим, мы имеем функцию $n$ переменных $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнений связи ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

$$\left\{\begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x_i}=0; (i=\overline{1,n})\\ & \varphi_j=0; (j=\overline{1,m}) \end{aligned} \right.$$

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F < 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Определитель матрицы $\left| \begin{array} {ccccc} \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_1} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{3} \partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}^{2}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{n}}\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}^{2}}\\ \end{array} \right|$, выделенной в матрице $L$ красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило:

• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}$ матрицы $L$ совпадают с знаком $(-1)^m$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Если знаки угловых миноров $H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}$ чередуются, причём знак минора $H_{2m+1}$ совпадает с знаком числа $(-1)^{m+1}$, то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример №1

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=x+3y$ при условии $x^2+y^2=10$.

Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости $z=x+3y$ для точек ее пересечения с цилиндром $x^2+y^2=10$.

Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию $z(x,y)=x+3y$ несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.

Обозначив $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, составим функцию Лагранжа:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac{\partial F}{\partial x}=1+2\lambda x; \frac{\partial F}{\partial y}=3+2\lambda y. $$

Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end{aligned} \right. $$

Если предположить $\lambda=0$, то первое уравнение станет таким: $1=0$. Полученное противоречие говорит о том, что $\lambda\neq 0$. При условии $\lambda\neq 0$ из первого и второго уравнений имеем: $x=-\frac{1}{2\lambda}$, $y=-\frac{3}{2\lambda}$. Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:

$$ \left(-\frac{1}{2\lambda} \right)^2+\left(-\frac{3}{2\lambda} \right)^2-10=0;\\ \frac{1}{4\lambda^2}+\frac{9}{4\lambda^2}=10; \lambda^2=\frac{1}{4}; \left[ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2};\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}. \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2}; \; x_1=-\frac{1}{2\lambda_1}=1; \; y_1=-\frac{3}{2\lambda_1}=3;\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}; \; x_2=-\frac{1}{2\lambda_2}=-1; \; y_2=-\frac{3}{2\lambda_2}=-3.\end{aligned} $$

Итак, система имеет два решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac{1}{2}$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac{1}{2}$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. Для этого вычислим определитель $H$ в каждой из точек.

$$ \varphi_{x}^{"}=2x;\; \varphi_{y}^{"}=2y;\; F_{xx}^{""}=2\lambda;\; F_{xy}^{""}=0;\; F_{yy}^{""}=2\lambda.\\ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right| $$

В точке $M_1(1;3)$ получим: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end{array} \right|=40 > 0$, поэтому в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_{\max}=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end{array} \right|=-40$. Так как $H < 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отмечу, что вместо вычисления значения определителя $H$ в каждой точке, гораздо удобнее раскрыть его в общем виде. Дабы не загромождать текст подробностями, этот способ скрою под примечание.

Запись определителя $H$ в общем виде. показать\скрыть

$$ H=8\cdot\left|\begin{array}{ccc}0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end{array}\right| =8\cdot\left(-\lambda{y^2}-\lambda{x^2}\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

В принципе, уже очевидно, какой знак имеет $H$. Так как ни одна из точек $M_1$ или $M_2$ не совпадает с началом координат, то $y^2+x^2>0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

$$ \begin{aligned} &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\\ &H(M_2)=-8\cdot\frac{1}{2}\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end{aligned} $$

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=2\lambda \left(dx^2+dy^2\right) $$

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left(dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac{1}{2}$ получим $d^2F < 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Ответ : в точке $(-1;-3)$ функция имеет условный минимум, $z_{\min}=-10$. В точке $(1;3)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=10$

Пример №2

Найти условный экстремум функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условии $x+y=0$.

Первый способ (метод множителей Лагранжа)

Обозначив $\varphi(x,y)=x+y$ составим функцию Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac{\partial F}{\partial x}=8x-y+\lambda; \; \frac{\partial F}{\partial y}=9y^2-x+\lambda.\\ \left \{ \begin{aligned} & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\lambda=0; \\ & x+y=0. \end{aligned} \right. $$

Решив систему, получим: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac{10}{9}$, $y_2=-\frac{10}{9}$, $\lambda_2=-10$. Имеем две стационарные точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9} \right)$. Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя $H$.

$$ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end{array} \right|=-10-18y $$

В точке $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 < 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 > 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_{\max}=\frac{500}{243}$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2 $$

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Так как $ d^2F \Bigr|_{M_1}=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 < 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Второй способ

Из уравнения связи $x+y=0$ получим: $y=-x$. Подставив $y=-x$ в функцию $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получим некоторую функцию переменной $x$. Обозначим эту функцию как $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

$$ u_{x}^{"}=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac{10}{9}; \; y_2=-x_2=-\frac{10}{9}. $$

Получили точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9}\right)$. Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак $u_{xx}^{""}$ в каждой стационарной точке или проверяя смену знака $u_{x}^{"}$ в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом. Например, проверим знак $u_{xx}^{""}$:

$$u_{xx}^{""}=-18x+10;\\ u_{xx}^{""}(M_1)=10;\;u_{xx}^{""}(M_2)=-10.$$

Так как $u_{xx}^{""}(M_1)>0$, то $M_1$ - точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_{\min}=u(0)=0$. Так как $u_{xx}^{""}(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Значения функции $u(x)$ при заданном условии связи совпадают с значениями функции $z(x,y)$, т.е. найденные экстремумы функции $u(x)$ и есть искомые условные экстремумы функции $z(x,y)$.

Ответ : в точке $(0;0)$ функция имеет условный минимум, $z_{\min}=0$. В точке $\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=\frac{500}{243}$.

Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака $d^2F$.

Пример №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=5xy-4$, если переменные $x$ и $y$ положительны и удовлетворяют уравнению связи $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$.

Составим функцию Лагранжа: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1 \right)$. Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

$$ F_{x}^{"}=5y+\frac{\lambda x}{4}; \; F_{y}^{"}=5x+\lambda y.\\ \left \{ \begin{aligned} & 5y+\frac{\lambda x}{4}=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end{aligned} \right. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac{5x}{y}$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac{5x}{y}\cdot \frac{x}{4}=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac{4y^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

$$ F_{xx}^{""}=\frac{\lambda}{4}; \; F_{xy}^{""}=5; \; F_{yy}^{""}=\lambda. $$

Так как $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, то:

$$ d\left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1\right)=0; \; d\left(\frac{x^2}{8} \right)+d\left(\frac{y^2}{2} \right)=0; \; \frac{x}{4}dx+ydy=0; \; dy=-\frac{xdx}{4y}. $$

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:

$$ F_{xx}^{""}=\frac{-5}{2}; \; F_{xy}^{""}=-10; \; dy=-\frac{dx}{2}.\\ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=-\frac{5}{2}dx^2+10dx\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)-10\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)^2=\\ =-\frac{5}{2}dx^2-5dx^2-\frac{5}{2}dx^2=-10dx^2. $$

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=\frac{\lambda}{4}dx^2+10\cdot dx\cdot \frac{-xdx}{4y} +\lambda\cdot \left(-\frac{xdx}{4y} \right)^2=\\ =\frac{\lambda}{4}dx^2-\frac{5x}{2y}dx^2+\lambda \cdot \frac{x^2dx^2}{16y^2}=\left(\frac{\lambda}{4}-\frac{5x}{2y}+\frac{\lambda \cdot x^2}{16y^2} \right)\cdot dx^2 $$

Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:

$$ d^2 F=\left(\frac{-10}{4}-\frac{10}{2}-\frac{10 \cdot 4}{16} \right)\cdot dx^2=-10dx^2. $$

Так как $d^2F=-10\cdot dx^2 < 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Ответ : в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_{\max}=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.