Непрерывные случайные величины. Презентация на тему дискретные случайные величины Закон распределения дискретной

«Основы математической статистики» - Числовое значение величины – кол-во успехов в серии испытаний. Некоторые определения. Основы теории проверки статистических гипотез. Ошибки при проверке статистических гипотез. В серии из n испытаний должно одновременно произойти k успехов и n-k - «неуспехов». Какова вероятность из выбранной наугад корзины выбрать белый шар?

«Основные статистические характеристики» - Медиана. Мода ряда. Размах ряда. Размах. Медиана ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Петроний. Найдите среднее арифметическое. Школьные тетради. Основные статистические характеристики. Статистика.

«Статистическое исследование» - Впервые термин «статистика» мы находим в художественной литературе. Относительная частота события. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Статистика - это прежде всего способ мышления. Гипотеза. Основные статистические характеристики. Нужна ли тебе помощь при выполнении домашнего задания по математике.

«Теория вероятности и статистика» - Теорема Чебышева. Случайная величина. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности. Поток событий. Многомерная случайная величина. Относительная частота. Зависимые случайные величины. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента. Статистический смысл математического ожидания. Случайный эксперимент.

«Элементы математической статистики» - Детали изготавливаются на разных станках. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии. Статистические оценки. Интервальные оценки. Способы отбора. Генеральная совокупность. Корреляционный момент. Проверка статистических гипотез. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Сравнение двух дисперсий.

«Вероятность и математическая статистика» - Описательная статистика. Белые и красные розы. Урезанное среднее. Оцените возможность наступления событий. Диаграммы рассеивания. Изображения диаграмм. Рассмотрим события. Шифр для сейфа. Плюшка. Точность полученных значений. Комбинаторные задачи. В алфавите племени Уауа имеются только две буквы. Отметки по математике.

Всего в теме 17 презентаций

2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

3 Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x 1, х 2, …, х n. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий. Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р(Х=х 1)=р 1 ; Р(Х=х 2) = р 2 ;...; Р(Х = х n) = р n. Так как несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице

4 Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид xixi x1x1 x2x2 …xnxn pipi p1p1 p2p2 …pnpn графическому изображению Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откла­дываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений. Такая фигура называется многоугольником распределения.

7 Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " class="link_thumb"> 8 8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0. 3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+) = 1. х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F "> х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0. 3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+) = 1."> х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F "> title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F ">

10 Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

11 Плотность распределения Функция f(x) – произвольная функция распределения характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины Х.

14 Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный участок dх, примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(х)dх. Величина f(х)dх называется элементом вероятности. Геометрически это есть пло­ щадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dх.

15

16 Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу: Геометрически вероятность попадания величины X на участок (α, β) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.

17 Основные свойства плотности распределения. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F(x) есть неубывающая функция. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

19 Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений., где, где Х – прерывная случайная величина, М[X] – среднее значение случайной величины, – возможные значения величины Х, – возможные значения величины Х, – вероятности значений. – вероятности значений.

21 Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс. Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

24 Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величине: Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

25 Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины (D[X]). Согласно определению центрального момента: т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

29 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

30 Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная соответствует точ­ке х = т; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при x ± кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

33 РЕЛЕЕВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Распределение модуля вектора на плоскости, координаты которого являются независимыми случайными величинами, что имеют нормальный закон распределения с нулевым средним и единичной дисперсией, описываются распределение Релея. Распределение Релея реализуют когда погрешности измерения по координатам x и y независимы и нормально распределены с одинаковыми дисперсиями.

Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта принимают те или иные значения, причем неизвестно заранее, какие именно.

Обозначают: X,Y,Z

Примером случайной величины может служить:

1) Х – число очков, появляющееся при бросании игральной кости

2) У – число выстрелов до первого попадания в цель

3) Рост человека, курс доллара, выигрыш игрока и т.д.

Случайная величина, принимающая счетное множество значений называется дискретной.

Если множество значений с.в. Несчетно, то такая величина называется непрерывной.

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событийΩ, которая каждому элементарному событию W ставит в соответствие число Х(w), т.е. Х=Х(w),W

Пример : Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На пространстве элементарных событий Ω{W1 ,W2 ,W3 ,W4 } где W1 =ГГ, W2 =ГР, W3 =РГ, W4 =РР. Можно рассмотреть с.в. Х – число появления герба. Х является функцией от

элементарного события W2 : X(W1 )=2, X(W2 )=1, X(W3 )=1, X(W4 )=0 X – дискретная с.в. Со значениями X1 =0, X2 =1, X3 =2.

Для полного описания случайной величины недостаточно лишь знания ее возможных значений. Необходимо еще знать вероятности этих значений

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть Х – дискретная с.в., которая принимает значения х1 ,

х2 …хn ..

С некоторой вероятностью Pi =P{X=xi }, i=1,2,3…n…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение xi

Такую таблицу называют рядом распределения

Так как события {X=x },{X=x }… несовместны и образуют

1 p i 1 2

полную группу, то i сумма1 их вероятностей равна

Отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – вероятности этих значений.

Ломаную, соединяющую точки (Х1 , Р1 ), (Х2 ,Р2 ),… называют

многоугольником распределения.

	x 1 x 2

Случайная величина Х дискретна, если конечное или счетное множество Х1 , Х2 ,…,Xn ,… таких, что P{X=xi } = pi > 0

(i=1,2,…) и p1 +p2 +p3 +… =1

Пример: В урне 8 шаров из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

Решение: Возможные значения с.в. Х – число белых шаров в выборке есть x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4 =3.

Вероятности их соответственно будут

p{ x 0}

C 5 1 C 3 2

P2 =p{x=1}=

Контроль:

С 2 С1

P3 =p{x=2}=

С 5 3 С 3 0

P4 =p{x=2}=

С8 3

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения.

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (1) можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что с.в. Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал (∞,х)

Функция распределения обладает свойствами :
1)F(x) ограничена, т.е. 0 F (x ) 1
2)F(x) – неубывающая функция на R т.е. если, x 2 x 1 то
F (x2 ) F(x1 )
3)F(x) обращается в ноль на минус бесконечности и равна 1
в плюс бесконечности т.е.			F(­∞)=0, F(+∞)=1
4) Вероятность с.в. Х в промежуток равна приращению
ее функции распределения на этом промежутке т.е.
P{ a X b} F(b) F(a)

5) F(x) непрерывна слева т.е. Lim F(x)=F(x0 )

x x0

С помощью функции распределения можно вычислить

Равенство (4) непосредственно вытекает из определения

6) Если всеx возможныеa значенияx b случайной величины Х

принадлежат интервалу (a,b), то для ее функции распределения F(x)=0 при, F(x)=1 при

Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины является плотность распределения вероятностей.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее

функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с.в. Х называется производная ее функции распределения. Обозначается f(x) F /

Из определения производной следует:
	F (x)		F(x x) F(x)
				P{ x X x x}
Но согласно формуле (2) oтношение

представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка , т.е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда

	P{ x X x x}
Т.е.плотность распределения есть предел отношения
вероятности попадания случайной величины в
промежуток			К длине ∆х этого промежутка,
	F (x x F (x) P{ x X x x}
когда ∆х→0			(6) равенства следует

Т.е. плотность вероятности определяется как функция f(x), удовлетворяющая условиюP { x X x x } f (x ) dx

Выражение f(x)dx называется элементом вероятности.

Свойства плотности распределения:

1) f(x) неотрицательна, т.е. f (x ) 0

Дискретные случайные величины Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi

Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,

Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить

Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины, а по вертикальной оси - значения функции. График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"

Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"): Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"):

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.