Определение предела на языке последовательностей. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений
Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколотых окрестностей, в которых были определены наши функции и которые возникали в процессе доказательств, кроме свойств указанных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделения следующего математического объекта.
а. База; определение и основные примеры
Определение 11. Совокупность В подмножеств множества X будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности.
Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.
Если то вместо пишут и говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений (соответственно, слева или со стороны меньших значений). При принята краткая запись вместо
Запись будет употребляться вместо Она означает, что а; стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.
то вместо пишут и говорят, что х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус бесконечности).
Запись будет употребляться вместо
При вместо мы (если это не ведет к недоразумению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать
Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой оси.
Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру
b. Предел функции по базе
Определение 12. Пусть - функция на множестве X; В - база в X. Число называется пределом функции по базе В, если для любой окрестности точки А найдется элемент базы, образ которого содержится в окрестности
Если А - предел функции по базе В, то пишут
Повторим определение предела по базе в логической символике:
Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значениями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного определения:
В этой формулировке вместо произвольной окрестности V (А) берется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрестность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрестности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!).
Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В конкретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкретной базы.
Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрестности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответствии с общим определением предела разумно принять следующие соглашения:
или, что то же самое,
Обычно под подразумевают малую величину. В приведенных определениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми соглашениями, например, можем записать
Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы , необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.
Определение 13. Функция называется финально постоянной при базе В, если существуют число и такой элемент базы, в любой точке которого
В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они избавляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей нынешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.
Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по произвольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.
(x)
в точке x 0
:
,
если
1)
существует такая проколотая окрестность точки x 0
2)
для любой последовательности {
x n }
,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {
f(x n )}
сходится к a
:
.
Здесь x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.
.
Второе определение предела функции (по Коши)
Число a
называется пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если
1)
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция определена;
2)
для любого положительного числа ε > 0
существует такое число δ ε > 0
,
зависящее от ε
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ ε
- окрестности точки x 0
:
,
значения функции f(x)
принадлежат ε
- окрестности точки a
:
.
Точки x 0 и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.
В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.
Определение с использованием произвольных окрестностей
Число a
называется пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если
1)
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция определена;
2)
для любой окрестности U(a)
точки a
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой окрестности точки x 0
:
,
значения функции f(x)
принадлежат окрестности U(a)
точки a
:
.
С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.
Односторонние и двусторонние пределы
Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.
Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение - ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .
Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки ».
Определение, что точка a не является пределом функции
Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f(x) определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0 . Точки a и x 0 могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.
По Гейне
.
Число a
не является
пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если существует такая последовательность {
x n }
,
сходящаяся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность {
f(x n )}
не сходится к a
:
.
.
По Коши
.
Число a
не является
пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если существует такое положительное число ε > 0
,
так что для любого положительного числа δ > 0
,
существует такое x
,
принадлежащее проколотой δ
- окрестности точки x 0
:
,
что значение функции f(x)
не принадлежит ε
- окрестности точки a
:
.
.
Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у нее не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a . Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .
Функция f(x) = sin(1/x) не имеет предела при x → 0.
Например, функция определена при ,
но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность .
Она сходится к точке 0
:
.
Поскольку ,
то .
Возьмем последовательность .
Она также сходится к точке 0
:
.
Но поскольку ,
то .
Тогда предел не может равняться никакому числу a
.
Действительно, при ,
существует последовательность ,
с которой .
Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность ,
с которой .
Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши
Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
Доказательство
При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.
Доказательство Гейне ⇒ Коши
Пусть функция имеет в точке предел a
согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности ,
принадлежащей окрестности точки и имеющей предел
(1)
,
предел последовательности равен a
:
(2)
.
Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .
Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое ,
что для любого существует ,
так что
.
Возьмем ,
где n
- натуральное число. Тогда существует ,
причем
.
Таким образом мы построили последовательность ,
сходящуюся к ,
но предел последовательности не равен a
.
Это противоречит условию теоремы.
Первая часть доказана.
Доказательство Коши ⇒ Гейне
Пусть функция имеет в точке предел a
согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует ,
что
(3)
для всех .
Покажем, что функция имеет предел a
в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число .
Согласно определению Коши, существует число ,
так что выполняется (3).
Возьмем произвольную последовательность ,
принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к .
По определению сходящейся последовательности, для любого существует ,
что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого ,
то
.
Теорема доказана.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
Пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции, так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала - самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a , то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A , к которому стремится функция при х , стремящемся к определенной точке а . Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim - от английского limit - предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача - найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют , читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х . Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность . Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Еще один вид неопределенностей: 0/0
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0 . Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос "как решать пределы в высшей математике". Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
Определение 1. ПустьЕ – бесконечное множество. Если любая окрестностьсодержит точки множестваЕ , отличные от точкиа , тоа называетсяпредельной точкой множестваЕ .
Определение
2. (Генрих Гейне
(1821-1881)). Пусть функция
определена на множествеХ
иА
называетсяпределом
функции
в точке(или при
,
если для любой последовательности
значений аргумента
,
сходящейся к,
соответствующая последовательность
значений функциисходится к числуА
. Пишут:
.
Примеры
. 1) Функция
имеет предел, равныйс
, в любой точке
числовой прямой.
Действительно, для любой точки
и любой последовательности значений
аргумента
,
сходящейся ки состоящей из чисел, отличных от,
соответствующая последовательность
значений функции имеет вид
,
а мы знаем, что эта последовательность
сходится кс
. Поэтому
.
2) Для функции
.
Это очевидно, так как если
,
то и
.
3) Функция Дирихле
не имеет предела ни в одной точке.
Действительно, пусть
и
,
причем все–
рациональные числа. Тогда
для всехn
, поэтому
.
Если же
и все–
иррациональные числа, то
для всехn
, поэтому
.
Мы видим, что условия определения 2 не
выполняются, поэтому
не существует.
4)
.
Действительно, возьмем произвольную
последовательность
,
сходящуюся к
числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.
Определение
3. (Коши (1789-1857)). Пусть
функция
определена на множествеХ
и– предельная точка этого множества.
ЧислоА
называетсяпределом
функции
в точке(или при
,
если для любого
найдется
,
такое, что для всех значений аргументах
, удовлетворяющих неравенству
,
справедливо неравенство
.
Пишут:
.
Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а:
пусть функция
определена на множествеХ
и– предельная точка этого множества.
ЧислоА
называется пределом
функции
в точке,
если для любой-окрестности
точкиА
найдется проколотая-
окрестность точки
,такая,
что
.
Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.
Пример
5.
.
Действительно, возьмем
произвольно и найдем
,
такое, что для всехх
, удовлетворяющих
неравенству
выполняется неравенство
.
Последнее неравенство равносильно
неравенству
,
поэтому видим, что достаточно взять
.
Утверждение доказано.
Справедлива
Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
Доказательство
. 1) Пусть
по Коши. Докажем, что это же число является
пределом и по Гейне.
Возьмем
произвольно. Согласно определению 3
существует
,
такое, что для всех
выполняется неравенство
.
Пусть
– произвольная последовательность
такая, что
при
.
Тогда существует номерN
такой, что для всех
выполняется неравенство
,
поэтому
для всех
,
т.е.
по Гейне.
2) Пусть теперь
по Гейне. Докажем, что
и по Коши.
Предположим противное, т.е. что
по Коши. Тогда существует
такое, что для любого
найдется
,
и
.
Рассмотрим последовательность
.
Для указанного
и любогоn
существует
и
.
Это означает, что
,
хотя
,
т.е. числоА
не является пределом
в точкепо Гейне. Получили противоречие, которое
и доказывает утверждение. Теорема
доказана.
Теорема 2 (о единственности предела). Если существует предел функции в точке, то он единственный.
Доказательство . Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.
Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим
Определение
4. Говорят, что функция
удовлетворяет условию Коши в точке,
если для любого
существует
,
таких, что
и
,
выполняется неравенство
.
Теорема
3 (критерий Коши существования
предела). Для того чтобы функция
имела в точкеконечный предел, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке функция удовлетворяла
условию Коши.
Доказательство
.Необходимость
.
Пусть
.
Надо доказать, что
удовлетворяет в точкеусловию Коши.
Возьмем
произвольно и положим
.
По определению предела длясуществует
,
такое, что для любых значений
,
удовлетворяющих неравенствам
и
,
выполняются неравенства
и
.
Тогда
Необходимость доказана.
Достаточность
. Пусть функция
удовлетворяет в точкеусловию Коши. Надо доказать, что она
имеет в точкеконечный предел.
Возьмем
произвольно. По определению 4 найдется
,
такое, что из неравенств
,
следует,
что
– это дано.
Покажем сначала, что для всякой
последовательности
,
сходящейся к,
последовательность
значений функции сходится. Действительно,
если
,
то, в силу определения предела
последовательности, для заданного
найдется номерN
,
такой, что для любых
и
.
Поскольку
в точкеудовлетворяет условию Коши, имеем
.
Тогда по критерию Коши для последовательностей
последовательность
сходится. Покажем, что все такие
последовательности
сходятся к одному и тому же пределу.
Предположим противное, т.е. что есть
последовательности
и
,
,
,
такие, что.
Рассмотрим последовательность.
Ясно, что она сходится к,
поэтому по доказанному выше
последовательностьсходится, что невозможно, так как
подпоследовательности
и
имеют разные пределыи.
Полученное противоречие показывает,
что=.
Поэтому по определению Гейне функция
имеет в точкеконечный предел. Достаточность, а значит
и теорема, доказаны.
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
|x n - a| < ε. (6.1)
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a- ε < x n < a + ε, (6.2)
которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→
a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε
, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε
), что для всех x
, лежащих в
ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 <
x-a
< ε
, значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е.
|f(x)-A|
<
ε.
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
. (6.3)
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2. (6.7)
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел
. (6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
,
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
,
и непрерывной слева в точке x o, если предел
.
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.
Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
.
Пример 3.3 . . Найти .
Решение. .
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3 .4 . Найти ().
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:
.
Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.
Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n =
p
n, то sin x n = sin
p
n = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Виджет для вычисления пределов on-line
В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.
Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).