В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими .

Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими . При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения

где r– коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид:

или
(21)

где
- коэффициент затухания,

- собственная круговая частота свободных колебаний при отсутствии сил трения.

Общим решением уравнения (21) в случае малых затуханий (
) является:

Оно отличается от гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний:

(23)

является убывающей функцией времени, а круговая частота связана с собственной частотойи коэффициентом затуханиясоотношением:

. (24)

Период затухающих колебаний равен:

. (25)

Зависимость смещения Х от tзатухающих колебаний представлена на рис.4.

Cтепень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания.

За время
амплитуда (23) уменьшается в е ≈ 2,72 раз. Это времяестественного затухания называютвременем релаксации . Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации:

.(26)

Скорость уменьшения амплитуды колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания . ПустьА(t) и А(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на один период. Тогда отношение:

(27)

называется декрементом затухания , который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения:

(28)

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, N e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. за время релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q.Добротность колебательной системы - величина, пропорциональная отношению полной энергии Е(t) колебательной системы к энергии (-Е), теряемой за период Т:

(29)

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид:

(30)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, энергия затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине
, можно написать:

. (31)

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид:

Здесь учтено, что при малых затуханиях (1): 1-е -2   2.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q~ 10 2 , а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигаетQ~ 10 8 .

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω 0 период становится бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении β период Т становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай движения изображен на рис.5. Критическое затухание (успокоение) происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах, например, в баллистических гальванометрах.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И РЕЗОНАНС

Если на тело с массой m действуют упругая сила F у = -kX, сила трения
и внешняя периодическая сила
, то оно совершает вынужденные колебания. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид:

где
,
- коэффициент затухания,
- собственная частота свободных незатухающих колебаний тела,F 0 – амплитуда, ω – частота периодической силы.

В начальный момент времени работа внешней силы превосходит энергию, которая расходуется на трение (рис. 6). Энергия и амплитуда колебаний тела будет возрастать до тех пор, пока вся сообщаемая внешней силой энергия не будет целиком расходоваться на преодоление трения, которое пропорционально скорости. Поэтому устанавливается равновесие, при котором сумма кинетической и потенциальной энергии оказывается постоянной. Это условие характеризует стационарное состояние системы.

В таком состоянии движение тела будет гармоническим с частотой, равной частоте внешнего возбуждения, но вследствие инерции тела его колебания будут сдвинуты по фазе по отношению к мгновенному значению внешней периодической силы:

X = AСos(ωt + φ). (34)

В отличие от свободных колебаний амплитуда А и фаза  вынужденных колебаний зависят не от начальных условий движения, а будут определяться только свойствами колеблющейся системы, амплитудой и частотой вынуждающей силы:

, (35)

. (36)

Видно, что амплитуда и сдвиг по фазе зависят от частоты вынуждающей силы (рис.7, 8).

Характерной особенностью вынужденных колебаний является наличие резонанса. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте свободных незатухающих колебаний тела ω 0 носит названиемеханического резонанса . Амплитуда колебаний тела при резонансной частоте
достигает максимального значения:

(37)

По поводу резонансных кривых (см. рис. 7) сделаем следующие замечания. Если ω→ 0, то все кривые (см. также (35)) приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению
, так называемомустатистическому отклонению . Если ω→ ∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

При условии малого затухания (β 2 ‹‹ω 0 2) резонансная амплитуда (см.(37))

(37а)

При этом условии возьмем отношение резонансного смещения к статическому отклонению:

из которого видно, что относительное увеличение амплитуды колебаний при резонансе определяется добротностью колебательной системы. Здесь добротность является, по сути, коэффициентом усиления отклика
системы и при малом затухании может достигать больших значений.

Это обстоятельство обусловливает огромное значение явления резонанса в физике и технике. Его используют, если хотят усилить колебания, например, в акустике – для усиления звучания музыкальных инструментов, в радиотехнике – для выделения нужного сигнала из множества других, отличающихся по частоте. Если резонанс можетпривести к нежелательному росту колебаний, пользуются системой с малой добротностью.

СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Источником внешней периодической силы может служить вторая колебательная система, упруго связанная с первой. Обе колебательные системы могут действовать одна на другую. Так, например, случай двух связанных маятников (рис. 9).

Система может совершать как синфазные (рис. 9б), так и противофазные (рис. 9с) колебания. Такие колебания называются нормальным типом или нормальной модой колебаний и характеризуются своей собственной нормальной частотой. При синфазных колебаниях смещения маятников во все моменты времени Х 1 = Х 2 , а частота ω 1 точно такая же, как частота отдельно взятого маятника
. Это объясняется тем, что легкая пружина находится в свободном состоянии и не оказывает никакого влияния на движение. При противофазных колебаниях во все моменты времени – Х 1 = Х 2 . Частота таких колебаний больше и равна
, так как пружина, обладающая жесткостьюk и осуществляющая связь, все время находится то в растянутом, то в сжатом состоянии.

Л
юбое состояние нашей связанной системы, в том числе и начальное смещение Х (рис. 9а), можно представить в виде суперпозиции двух нормальных мод:

Если привести систему в движение из начального состояния Х 1 = 0,
, Х 2 = 2А,
,

то смещения маятников будут описываться выражениями:

На рис. 10 представлено изменение смещения отдельных маятников во времени.

Частота колебаний маятников равна средней частоте двух нормальных мод:

, (39)

а их амплитуда изменяется по закону синуса или конуса с меньшей частотой, равной половине разности частоты нормальных мод:

. (40)

Медленное изменение амплитуды с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется “ биениями ” двух колебаний с почти одинаковыми частотами. Частота “биений” равна разности ω 1 –ω 2 частот, (а не половине этой разности), поскольку максимум амплитуды 2А достигается дважды за период, соответствующий частоте

Отсюда период биений оказывается равным:

(41)

При биениях между маятниками происходит обмен энергией. Однако полный обмен энергией возможен только тогда, когда обе массы одинаковы и отношение (ω 1 +ω 2 / ω 1 -ω 2) равно целому числу. Необходимо отметить один важный момент: хотя отдельные маятники могут обмениваться энергией, обмен энергией между нормальными модами отсутствует.

Наличие таких колеблющихся систем, которые взаимодействуют между собой и способны передавать друг другу свою энергию, составляют основу волнового движения.

Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, увлекает за собой и приводит в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Благодаря наличию упругих связей между частицами колебания распространяются с характерной для данной среды скоростью по всей среде.

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной .

Различают два основных типа волн: продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, а в поперечных – перпендикулярно к направлению распространения волны. Не во всякой упругой среде возможно распространение поперечной волны. Поперечная упругая волна возможна лишь в таких средах, в которых имеет место упругая деформация сдвига. Например, в газах и жидкостях распространяются только продольные упругие волны (звук).

Геометрическое место точек среды, до которых к данному моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны . Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникали. В зависимости от формы фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические и т.д.

Уравнение плоской волны, распространяющейся без потерь в однородной среде, имеет вид:
, (42)

где ξ(Х,t) – смещение частиц среды с координатой Х от положения равновесия в момент времени t, А – амплитуда,
- фаза волны,
- круговая частота колебания частиц среды,v – скорость распространения волны.

Длиной волны λ называется расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2π, другими словами, длиной волны называется путь, проходимый любой фазой волны за один период колебаний:

фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы:

λ / Т (44)

Волновое число – число длин волн, укладывающихся на длине 2π единиц:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Подставляя эти обозначения в (42), уравнение плоской бегущей монохроматической волны можно представить в виде:

(46)

Отметим, что уравнение волны (46) обнаруживает двойную периодичность по координате и времени. Действительно, фазы колебаний совпадают при изменении координаты на λ и при изменении времени на период Т. Поэтому изобразить графически волну на плоскости нельзя. Часто фиксируют время t и на графике представляют зависимость смещения ξ от координаты Х, т.е. мгновенное распределение смещений частиц среды вдоль направления распространения волны (рис.11). Разность фаз Δφ колебаний точек среды зависит от расстояния ΔХ =Х 2 – Х 1 между этими точками:

(47)

Если волна распространяется противоположно направлению Х, то уравнение обратной волны запишется в виде:

ξ (Х,t) = АСos(ωt + kX). (48)

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ – это результат особого вида интерференции волн. Они образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях, имеют вид:

ξ 1 =АСos(ωt – kX)

ξ 2 = AСos(ωt + kX). (49)

Складывая эти уравнения по формуле суммы косинусов и учитывая, что k = 2π / λ, получим уравнение стоячей волны:

. (50)

Множитель Сos ωt показывает, что в точках среды возникает колебание той же частоты ω с амплитудой
, зависящей от координаты Х рассматриваемой точки. В точках среды, где:
, (51)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями .

Из выражения (51) можно найти координаты пучностей:
(52)

В точках, где
(53) амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называютсяузлами .

Координаты узлов:
. (54)

Расстояния между соседними пучностями и соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние между узлом и соседней пучностью равно λ / 4. При переходе через узел множитель
меняет знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.

Распределение узлов и пучностей в стоячей волне зависит от условий, имеющих место на границе раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если отражение волны происходит от среды более плотной, то фаза колебаний в месте отражения волны меняется на противоположную или, как говорят, теряется половина волны. Поэтому, в результате сложения колебаний противоположных направлений смещение на границе равно нулю, т.е. имеет место узел (рис. 12).При отражении волны от границы менее плотной среды фаза колебаний в месте отражения остается без изменения и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами – получается пучность.

В стоячей волне нет перемещения фаз, нет распространения волны, нет переноса энергии, с чем и связано название такого типа волн.

§6 Затухающие колебания

Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.

Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими .

Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения

где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F C направлена в сторону противоположную скорости.

Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона

где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Уравнение затухающих колебаний.

ω - частота затухающих колебаний:

Период затухающих колебаний:

Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово-рить, когда β мало.

Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно

рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону

В уравнении (1) А 0 и φ 0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания

Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз

τ - время релаксации.

Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:

Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :

Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень-шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.

Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .

Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.

Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.

Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.

Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.

§7 Вынужденные колебания.

Резонанс

В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.

Пусть

Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.

По второму закону Ньютона:

(1)

Дифференциальное уравнение вынуж-денных колебаний.

Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.

Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:

(2)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

Тогда

Подставим в (2):

т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,

Это комплексное число удобно представить в виде

где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид

Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:

где

(3)

(4)

Слагаемое Х о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи-ческой системы, называется резонансом .

Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).

Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой . Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то

ω рез = ω 0 .

При ω→0 все кривые приходят к значению - статическое отклонение.

Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.

Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. §59 т.1 Савельев И.В.

До сих пор мы рассматривали гармонические колебания, возникающие, как это уже отмечалось, при наличии в системе единственной силы - силы упругости или квазиупругой силы. В окружающей нас природе, строго говоря, таких колебаний не существует. В реальных системах кроме упругих или квазиупругих сил всегда присутствуют и другие силы, отличающиеся по характеру действия от упругих - это силы, возникающие при взаимодействии тел системы с окружающей средой - диссипативные силы. Конечным результатом их действия является переход механической энергии движущегося тела в теплоту. Другими словами, происходит рассеяние или диссипация механической энергии. Процесс рассеяния энергии не является чисто механическим и для своего описания требует привлечения знаний из других разделов физики. В рамках механики мы можем описать этот процесс путем введения сил трения или сопротивления. В результате рассеяния энергии амплитуда колебаний убывает. В этом случае принято говорить, что колебания тела или системы тел затухают. Затухающие колебания уже не являются гармоническими, так как их амплитуда и частота со временем изменяются.

Колебания, которые вследствие рассеяния энергии в колеблющейся системе происходят с непрерывно уменьшающейся амплитудой, называются затухающими. Если колебательная система, выведенная из состояния равновесия, совершает колебания под действием только внутренних сил, без сопротивления и рассеяния (диссипации) энергии, то совершающиеся в ней колебания называются свободными (или собственными) незатухающими колебаниями. В реальных механических системах с диссипацией энергии свободные колебания всегда затухающие. Их частота со отличается от частоты со 0 колебаний системы без затухания (о 0 тем больше, чем больше влияние сил сопротивления.

Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного маятника. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. При малых скоростях колебаний силу сопротивления можно принять пропорциональной величине скорости колебательных смещений

где v = 4 - скорость колебаний; г - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления. Знак минус в выражении (2.79) для силы сопротивления обусловлен тем, что она направлена в сторону, противоположную скорости движения колеблющегося тела.

Зная выражения для квазиупругой силы i^p = -и силы сопротивления F c = с учетом совместного действия этих сил, можно записать динамическое уравнение движения тела, совершающего затухающие колебания

В этом уравнении коэффициент (3 в соответствии с формулой (2.49) заменим на ты], после чего последнее уравнение разделим наши получим

Будем искать решение уравнения (2.81) в виде функции времени вида

Здесь пока еще неопределенная постоянная величина у. Начальная фаза в нашем рассмотрении будет для упрощения предполагаться равной нулю, т.е. мы можем «включить» секундомер тогда, когда колебательное смещение проходит через положение равновесия (нуль координаты).

Определить величину у можем путем подстановки в дифференциальное уравнение затухающих колебаний (2.81) предполагаемого решения (2.82), а также получаемых из него скорости

и ускорения

Подстановка (2.83) и (2.84) совместно с (2.82) в (2.81) дает После сокращения на /1 () е" : " и умножения на «-1» получим Решив это квадратное уравнение относительно у, имеем

Подставив у в (2.82), найдем, как зависит смещение от времени при затухающих колебаниях. Введем обозначения

где символом со обозначена угловая частота затухающих колебаний и соо угловая частота свободных колебаний без затухания. Видно, что при S > 0 частота со затухающих колебаний всегда меньше частоты

Таким образом, и, следовательно, смещение при затухающих колебаниях может быть выражено в виде

Выбор знака «+» или «-» в показателе второй экспоненты произволен и отвечает сдвигу колебаний по фазе на л . Будем записывать затухающие колебания с учетом выбора знака «+», тогда выражение (2.90) будет

Это и есть искомая зависимость смещения от времени. Ее можно переписать и в тригонометрической форме (ограничиваясь действительной частью)

Искомая зависимость амплитуды A(t ) от времени может быть представлена в виде

где А(, - амплитуда в момент времени t = 0.

Постоянную 8, равную согласно (2.88) отношению коэффициента сопротивления г к удвоенной массе т колеблющегося тела, называют коэффициентом затухания колебаний. Выясним физический смысл этого коэффициента. Найдем то время т, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е (основание натуральных логарифмов е = 2,72) раз. Для этого положим

Используя соотношение (2.93), получим: или

откуда следует

Следовательно, коэффициент затухания 8 - это величина, обратная времени т, по прошествии которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз. Величина т, имеющая размерность времени, называется постоянной времени затухающего колебательного процесса.

Кроме коэффициента 8 для характеристики процесса затухания колебаний часто используют так называемый логарифмический декремент затухания X, равный натуральному логарифму отношения двух амплитуд колебаний, отделенных друг от друга промежутком времени, равным периоду Т

Выражение под логарифмом, обозначенное символом d, называется просто декрементом колебаний (декрементом затухания).

Используя выражение амплитуды (2.93), получим:

Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания. Пусть амплитуда колебаний уменьшается в е раз по прошествии N колебаний. Время т, за которое тело совершит N колебаний, можно выразить через период т = NT. Подставив это значение т в (2.97), получаем 8NT= 1. Поскольку 67"= А., то NX = 1, или

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, за которые амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз.

В ряде случаев зависимость амплитуды колебаний от времени A{t) удобно выразить через логарифмический декремент затухания А. Показатель степени 61 выражения (2.93) можно записать согласно (2.99) следующим образом:

Тогда выражение (2.93) принимает вид

где величина, равная числу N колебаний, совершаемых системой за время т.

В таблице 2.1 проведены примерные значения (по порядку величины) логарифмических декрементов затухания некоторых колебательных систем.

Таблица 2.1

Значения декрементов затухания некоторых колебательных систем

Проанализируем теперь влияние сил сопротивления на частоту колебаний. При смешении тела из положения равновесия и возвращении его в положение равновесия, на него все время будет действовать сила сопротивления, вызывая его торможение.

Это значит, что те же самые участки пути при затухающих колебаниях будут пройдены телом за больший интервал времени, чем при свободных колебаниях. Период затухающих колебаний Т, следовательно, будет больше периода собственных свободных колебаний. Из выражения (2.89) видно, что различие в частотах становится тем больше, чем больше коэффициент затухания б. При больших б (б > соо) затухающие колебания вырождаются в апериодический {не периодический) процесс, при котором в зависимости от начальных условий система возвращается в положение равновесия сразу без его прохождения, либо перед остановкой проходит положение равновесия однократно (совершает только одно колебание) - см. рис. 2.16.

Рис. 2.16. Затухающие колебания:

На рисунке 2.16, а изображен график зависимости %{t) и A{t) (при 5 > со 0 и начальной фазе соо, колебания вовсе невозможны (этому случаю соответствует мнимое значение частоты, определяемой из равенства (2.89). Система становится демпфирующей, а колебательный процесс - апериодическим (рис. 2.16, б).

• Запись ехр(х) эквивалентна е*. Мы будем пользоваться обеими формами.
• При общем рассмотрении колебаний полное значение фазы колебаний задается начальными условиями, т.е. величиной смещения 4(0 и скорости 4(0 в начальный моментвремени (t = 0) и включает слагаемое

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний системы с течением времени расходуется на работу против сил трения, поэтому собственные колебания всегда затухают – их амплитуда постепенно уменьшается. Потеря энергии происходит и при деформациях тел, так как вполне упругих тел не существует, а деформации не вполне упругих тел сопровождаются частичным переходом механической энергии в энергию хаотического теплового движения частиц этих тел.

Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаний, пропорциональны величине скорости. Будем называть эти силы, независимо от их происхождения, силами трения или сопротивления и вычислять их по следующей формуле: . Здесь r – коэффициент сопротивления среды, – скорость движения тела. Знак минус указывает на то, что силы трения всегда направлены в сторону, противоположную направлению движения тела.

Запишем уравнение второго закона Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний пружинного маятника

Здесь: m – масса груза, k – жесткость пружины, – проекция скорости на ось ОХ, – проекция ускорения на ось ОХ. Поделим обе части уравнения (13) на массу m и перепишем его в виде:

. (14)

Введем обозначения:

, (15)

. (16)

Назовем коэффициентом затухания, а мы ранее назвали собственной циклической частотой. С учетом введенных обозначений (15 и 16) уравнение (14) запишется

. (17)

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний любой природы. Вид решения этого линейного дифференциального уравнения второго порядка зависит от соотношения между величиной – собственной частотой незатухающих колебаний и коэффициентом затухания .

Если трение очень велико (в этом случае ), то система, выведенная из положения равновесия, возвращается в него, не совершая колебаний («ползет»). Такое движение (кривая 2 на рис.3) называют апериодическим.

Если же в начальный момент система с большим трением находится в положении равновесия и ей сообщается некоторая начальная скорость , то система достигает наибольшего отклонения от положения равновесия , останавливается и после этого смещение асимптотически стремится к нулю (рис.4).

Рис.3 Рис.4

Если система выведена из положения равновесия при условии и отпущена без начальной скорости, то система также не переходит положения равновесия. Но в этом случае время практического приближения к нему оказывается меньше, чем в случае большого трения (кривая 1 на рис 3). Такой режим называется критическим и к нему стремятся при использовании различных измерительных приборов (для быстрейшего отсчета показаний).

при малом трении (в этом случае ) движение носит колебательный характер (рис.5) и решение уравнения (17) имеет вид:

(19)

описывает изменение амплитуды затухающих колебаний со временем. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени (рис.5) и тем быстрее, чем больше коэффициент сопротивления и чем меньше масса колеблющегося тела, то есть чем меньше инертность системы.

Рис.5

Величину

называют циклической частотой затухающих колебаний. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Поэтому назвать частотой можно лишь условно в том смысле, что она показывает, сколько раз за секунд колеблющаяся система проходит через положение равновесия. По этой же причине величину

(21)

можно назвать условным периодом затухающих колебаний .

Для характеристики затухания введем следующие величины:

Логарифмический декремент затухания;

Время релаксации;

Добротность.

Отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом называют декрементом затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T (натуральный логарифм отношение двух любых последовательных смещений, разделенных во времени одним периодом):

Поскольку и , то .

Воспользуемся формулой зависимости амплитуды от времени (19) и получим

Выясним физический смысл величин и . Обозначим через промежуток времени, за который амплитуда затухающих колебаний убывает в е раз и назовем его временем релаксации . Тогда . отсюда следует, что

Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода , сопротивление воздуха

и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть расходуется на работу против сил трения. В конечном итоге на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.

Рассматривая , мы имели дело с идеальными, строго периодическими собственными колебаниями. Описывая при помощи такой модели реальные колебания, мы сознательно допускаем неточность в описании. Однако подобное упрощение является пригодным в силу того, что у многих колебательных систем затухания колебаний, вызванные трением, действительно малы: система успевает совершить много колебаний прежде, чем их уменьшится заметным образом.

Графики затухающих колебаний

При наличии затухания собственное колебание (рис.1) перестает быть гармоническим. Более того, затухающее колебание перестает быть периодическим процессом — трение влияет не только на амплитуду колебаний (то есть является причиной затухания), но и на продолжительность размахов. С увеличением трения время, необходимое системе для совершения одного полного колебания, увеличивается. График затухающих колебаний представлен на рис. 2.

Рис.1. График свободных гармонических колебаний

Рис.2. График затухающих колебаний

Характерной чертой колебательных систем является то, что небольшое трение влияет на период колебаний в гораздо меньшей степени, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Первые часы с построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часовых механизмов. Ход часов с маятником мало чувствителен к изменениям, обусловленным трением, которые в общем случае зависят от многих факторов, в то время как скорость хода предшествующих безмаятниковых часов очень сильно зависела от трения.

На практике возникает потребность как в уменьшении, так и в увеличении затухания колебаний. К примеру, при конструировании часовых механизмов стремятся уменьшить затухание колебаний балансира часов. Для этого ось балансира снабжают острыми наконечниками, которые упираются в хорошо отполированные конические подпятники, выполненные из твердого камня (агата или рубина). Наоборот, во многих измерительных приборах очень желательно, чтобы подвижная часть устройства устанавливалась в процессе измерений быстро, но совершая большого числа колебаний. Для увеличения затухания в этом случае применяют различные демпферы – устройства, увеличивающие трение и, в общем случае, потерю энергии.