Г 10 3 перпендикулярность в пространстве. Тест «Перпендикулярные прямые в пространстве
13.11.2016 14:35
Тестовые задания по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве"1.Аксиомы стереометрии. 2.Параллельность прямых и плоскостей. 3.Перпендикулярность прямых и плоскостей. Ответы в конце разработки
Просмотр содержимого документа
«Тестовые задания по геометрии к разделу "Прямые и плоскости в пространстве" 1 курс СПО»
Раздел № 3. Прямые и плоскости в пространстве |
Предмет стереометрии. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Пространственные фигуры. |
Параллельность прямыхв пространстве. Параллельность двух плоскостей. |
Векторы в пространстве. Параллельный перенос. |
Сечение многогранников. |
Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости. |
Перпендикуляр и наклонная. |
Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. |
Аксиомы стереометрии
Вариант 1
1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC |
|
Каким плоскостям принадлежит точка К? 1) АВС и ABD |
|
Выберите верные высказывания: 1) Любые три точки лежат в одной плоскости. 2) Если центр окружности и ее точка лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 3) Через три точки, лежащих на прямой, проходит только одна плоскость. 4) Через две пересекающихся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Ответ: ______ |
|
Выберите неверные высказывания: 1) Если три прямые имеют общую точку, то они лежат в одной плоскости. 3) Две плоскости могут имеет только две общие точки. 4) Три попарно пересекающиеся в разных точках прямые, лежат в одной плоскости. Ответ: ______ |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости A 1 BC и A 1 AD. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC 1 и A 1 AD. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через прямую АВ проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью ВСD. 1) АС 2) АB 3) BС 4) ВD |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через точки В и D проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью AСD. 1) АС 2) АB 3) BС 4) ВD |
|
Вариант 2
Точка Р лежит на прямой МN. Назовите плоскость, которой принадлежит точка Р. 1) АВС 2) DBC 3) DAB 4) DAC |
|
Каким плоскостям принадлежит точка F? 1) АВС и ACD |
|
Выберите верные высказывания: 1) Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 2) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость. 3) Если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости. 4) Две плоскости могут иметь только одну общую точку. Ответ: ______ |
|
Выберите неверные высказывания: 1) Две окружности, имеющие общий центр, лежат в одной плоскости. 3) Три вершины треугольника принадлежат одной плоскости. 4) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Ответ: ______ |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости DCC 1 и A 1 BC. 1) DC 2) A 1 D 1 3) D 1 D 4) D 1 C |
|
Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и C 1 CB. 1) BC 2) B 1 C 1 3) A 1 B 4) B 1 B |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через прямую CD проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью AВС. 1) СD 2) АD 3) BС 4) ВD |
|
Прямые АВ и CD пересекаются. Через точки A и D проведена плоскость. Назовите линию пересечения данной плоскости с плоскостью BСD. 1) АС 2) АD 3) BС 4) ВD |
|
Вариант 1
Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FBC. 1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК |
|
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A 1 B 1 C 1 ? 1) а 2) b 3) p 4) m |
|
В тетраэдре DАВС ВК = КС, DP = PC. Плоскости какой грани параллельна прямая РК? 1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC |
|
Выберите верные высказывания: 1) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. 2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо так же ей параллельна, либо лежит в этой плоскости. 3) Существует такая прямая, которая лежит в плоскости и параллельна прямой, пересекающей данную плоскость. 4) Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек. Ответ: ______ |
|
1) a || n 2) a || b 3) b || c 4) a || c |
|
верные
высказывания: 1) Прямые СD и MN скрещивающиеся. 2) Прямые АВ и MN лежат в одной плоскости. 3) Прямые СD и MN пересекаются. 4) Прямые АВ и СD скрещивающиеся. Ответ: ______ |
|
1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Треугольники АВК и АВF расположены так, что прямые АВ и FK скрещиваются. Как расположены прямые АК и ВF? |
|
В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 20; DA = DB = DC = 40. Через середину ребра АС плоскость, параллельная АD и ВC. Найдите периметр сечения. Ответ: ____ |
Параллельность прямых и плоскостей
Вариант 2
Точки М, Р, К – середины ребер DA, DB, DC тетраэдра DABC. Назовите прямую, параллельную плоскости FАB. 1) МР 2) РК 3) МК 4) МК и РК |
|
АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед. Какая из прямых параллельна плоскости A 1 AD? 1) а 2) b 3) p 4) m |
|
В тетраэдре DАВС AM = MD, AN = NB. Плоскости какой грани параллельна прямая MN? 1) DAB 2) DBC 3) DAC 4) ABC |
|
Выберите верные высказывания: 1) Параллельные прямые не имеют общих точек. 2) Если прямая параллельна данной плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. 3) Если прямая параллельна линии пересечения двух плоскостей и не принадлежит ни одной из них, то она параллельна каждой из этих плоскостей. 4) Существует параллелепипед, у которого все углы граней острые. Ответ: ______ |
|
Точки А, В, С и D – середины ребер прямоугольного параллелепипеда. Назовите параллельные прямые. 1) a || n 2) a || b 3) b || c 4) a || c |
|
Точки А и D – середины ребер параллелепипеда. Выберите верные
высказывания: 1) Прямые СD и MN пересекаются. 2) Прямые АВ и MN скрещивающиеся 3) Прямые АВ и СD параллельные. 4) Прямые АВ и MN пересекаются Ответ: ______ |
|
Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Точки А и В – середины ребер параллелепипеда. Определите взаимное расположение прямых. 1) a и b – пересекающиеся прямые 2) a и b – параллельные прямые 3) a и b – скрещивающиеся прямые |
|
Два равнобедренных треугольника АВС и АВD с общим основанием АВ расположены так, что точка С не лежит в плоскости АВD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам ВС и ВD. 1) они параллельны 2) скрещиваются 3) пересекаются |
|
В тетраэдре DАВС АВ = ВС = АС = 10; DA = DB = DC = 20. Через середину ребра ВС плоскость, параллельная АС и ВD. Найдите периметр сечения. Ответ: ____ |
Вариант 1
Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость, перпендикулярная к стороне ВС. Определите вид треугольника относительно углов. |
|
Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. Расстояние от точки М до вершины А равно 3. Найдите высоту треугольника. Ответ: ____ |
|
АВСD – параллелограмм; Найдите периметр параллелограмма. 1) 20 2) 25 3) 40 4) 60 |
|
Через вершину А треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная ВС. Расстояние от ВС до плоскости α равно 12. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника АВС до этой плоскости. 1) 8 2) 6 3) 12 4) 18 |
|
Высота ромба равна 12. Точка М равноудалена от всех сторон ромба и находится на расстоянии, равном 8, от его плоскости. Чему равно расстояние точки М до сторон ромба? Ответ: ____ |
|
Выберите верные высказывания: 2) Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны. 3) Длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки. 4) Две скрещивающиеся прямые могут быть перпендикулярными к одной плоскости. Ответ: ______ |
|
Отрезок АВ упирается концами А и В в грани прямого двугранного угла. Расстояния от точек А и В до ребра равны 1, а длина отрезка АВ равна 3. Найдите длину проекции этого отрезка на ребро. |
|
В тетраэдре DABC АО пресекает ВС в точке Е; Найдите. |
|
Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите угол MCD. |
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Вариант 2
Через сторону АD параллелограмма АВСD, проведена плоскость, перпендикулярная к стороне DС. Определите вид треугольника АВС. 1) остроугольный 2) прямоугольный 3) тупоугольный |
|
Треугольник АВС – правильный, О – центр треугольника. Высота треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. Ответ: ____ |
|
АВСD – параллелограмм; Найдите BD. 1) 20 2) 15 3) 40 4) 10 |
|
Через вершину А треугольника ABC проведена плоскость α, параллельная ВС. Расстояние от точки пересечения медиан треугольника АВС до этой плоскости равно 4. На каком расстоянии от плоскости находится ВС? 1) 8 2) 6 3) 12 4) 14 |
|
Точка Р удалена от всех сторон ромба на расстояние» равное, и находится от его плоскости на расстоянии равном 2. Чему равна сторона ромба, если его угол 30°? Ответ: ____ |
|
На рисунке Найдите угол между МС и плоскостью АМВ. 1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0 |
|
Выберите верные высказывания: 1) Угол между прямой и плоскостью может быть не больше 90 0 . 2) Две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, пересекаются. 3) Длина перпендикуляра больше длины наклонной, проведенной из той же точки. 4) Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше любого из ребер. Ответ: ______ |
|
Отрезок АВ упирается концами А и В в грани прямого двугранного угла. Расстояния от точек А и В до ребра равны 2, а длина отрезка АВ равна 4. Найдите длину проекции этого отрезка на ребро. |
|
В тетраэдре DABC основание ABC - правильный треугольник. Вершина D проецируется в его центр О. Найдите угол между плоскостью ADO и гранью DCB. 1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 45 0 |
|
Треугольник АМВ и прямоугольник ABCD расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите угол MAD. 1) 90 0 2) 60 0 3) 30 0 4) 45 0 |
Тест 1
Вариант 1 | ||||||||||
Вариант 2 |
Тест 2
Вариант 1 | ||||||||||
Вариант 2 |
Тест 3
Вариант 1 | ||||||||||
Вариант 2 |
Например, перпендикулярность прямых m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} записывают как m ⊥ n {\displaystyle m\perp n} .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ 10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскости
✪ стереометрия ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости
✪ Перпендикулярность прямой и плоскости. Геометрия 10-11 классы. Урок 7
✪ стереометрия ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ
✪ 10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве
Субтитры
На плоскости
Перпендикулярные прямые на плоскости
В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями y = tg α 1 x + b 1 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{1}x+b_{1}} и y = tg α 2 x + b 2 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{2}x+b_{2}} будут перпендикулярны, если выполнено условие α 2 = 1 2 π + α 1 {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\pi +\alpha _{1}} . Эти же прямые будут перпендикулярны, если tg α 1 tg α 2 = − 1 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}=-1} . (Здесь α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} - углы наклона прямой к горизонтали)
Построение перпендикуляра
Шаг 1: (красный ) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А" и В".
Шаг 2: (зелёный ) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A" и В" соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: (синий ) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.
Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
A (x a , y a) {\displaystyle A(x_{a},y_{a})} и B (x b , y b) {\displaystyle B(x_{b},y_{b})} - прямая, O (x o , y o) {\displaystyle O(x_{o},y_{o})} - основание перпендикуляра, опущенного из точки P (x p , y p) {\displaystyle P(x_{p},y_{p})} .
Если x a = x b {\displaystyle x_{a}=x_{b}} (вертикаль), то x o = x a {\displaystyle x_{o}=x_{a}} и y o = y p {\displaystyle y_{o}=y_{p}} . Если y a = y b {\displaystyle y_{a}=y_{b}} (горизонталь), то x o = x p {\displaystyle x_{o}=x_{p}} и y o = y a {\displaystyle y_{o}=y_{a}} .
Во всех остальных случаях:
x o = x a ⋅ (y b − y a) 2 + x p ⋅ (x b − x a) 2 + (x b − x a) ⋅ (y b − y a) ⋅ (y p − y a) (y b − y a) 2 + (x b − x a) 2 {\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}} ; y o = (x b − x a) ⋅ (x p − x o) (y b − y a) + y p {\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}} .В трёхмерном пространстве
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямой к плоскости
Определение : Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак : Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость , перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярные плоскости
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
В многомерных пространствах
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t . Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно (4 2) = 6 {\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6} : xy , xz , xt , yz , yt , zt , и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz , yz и zt ), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt , yz и xt ).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство
W
n
{\displaystyle W^{n}}
, а прямая l
L
1
{\displaystyle L^{1}}
и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где
L
1
⊂
W
n
{\displaystyle L_{1}\subset W^{n}}
,
L
k
⊂
W
n
,
k
<
n
{\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Π k {\displaystyle \Pi _{k}} , если подпространство L 1 {\displaystyle L_{1}} ортогонально подпространству L k {\displaystyle L^{k}} , то есть (∀ a → ∈ L 1) (∀ b → ∈ L k) a → b → = 0 {\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in L_{1})\ (\forall {\vec {b}}\in L_{k})\ {\vec {a}}{\vec {b}}=0}
Перпендикулярность в пространстве могут иметь:
1. Две прямые
3. Две плоскости
Давай по очереди рассмотрим эти три случая: все относящиеся к ним определения и формулировки теорем. А потом обсудим очень важную теорему о трёх перпендикулярах.
Перпендикулярность двух прямых.
Определение:
Ты можешь сказать: тоже мне, открыли Америку! Но вспомни, что в пространстве всё не совсем так, как на плоскости.
На плоскости перпендикулярными могут оказаться только такие прямые (пересекающиеся):
А вот перпендикулярность в пространстве двух прямых может быть даже в случае если они не пересекаются. Смотри:
прямая перпендикулярна прямой, хотя и не пересекается с нею. Как так? Вспоминаем определение угла между прямыми: чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми и, нужно через произвольную точку на прямой a провести прямую. И тогда угол между и (по определению!) будет равен углу между и.
Вспомнили? Ну вот, а в нашем случае - если окажутся перпендикулярны прямые и, то нужно считать перпендикулярными прямые и.
Для полной ясности давай рассмотрим пример. Пусть есть куб. И тебя просят найти угол между прямыми и. Эти прямые не пересекаются - они скрещиваются. Чтобы найти угол между и, проведём.
Из-за того, что - параллелограмм (и даже прямоугольник!), получается, что. А из-за того, что - квадрат, выходит, что. Ну, и значит.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение:
Вот картинка:
прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем-всем прямым в этой плоскости: и, и, и, и даже! И ещё миллиарду других прямых!
Да, но как же тогда вообще можно проверить перпендикулярность в прямой и плоскости? Так и жизни не хватит! Но на наше счастье математики избавили нас от кошмара бесконечности, придумав признак перпендикулярности прямой и плоскости .
Формулируем:
Оцени, как здорово:
если найдутся всего лишь две прямые (и) в плоскости, которым перпендикулярна прямая, то эта прямая сразу окажется перпендикулярна плоскости, то есть всем прямым в этой плоскости (в том числе и какой-то стоящей сбоку прямой). Это очень важная теорема, поэтому нарисуем её смысл ещё и в виде схемы.
И опять рассмотрим пример .
Пусть нам дан правильный тетраэдр.
Задача: доказать, что. Ты скажешь: это же две прямые! При чём же здесь перпендикулярность прямой и плоскости?!
А вот смотри:
давай отметим середину ребра и проведём и. Это медианы в и. Треугольники - правильные и.
Вот оно, чудо: получается, что, так как и. И далее, всем прямым в плоскости, а значит, и. Доказали. И самым главным моментом оказалось именно применение признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Когда плоскости перпендикулярны
Определение:
То есть (подробнее смотри в теме «двугранный угол») две плоскости (и) перпендикулярны, если окажется, что угол между двумя перпендикулярами (и) к линии пересечения этих плоскостей равен. И есть теорема, которая связывает понятие перпендикулярных плоскостей с понятием перпендикулярность в пространстве прямой и плоскости.
Теорема эта называется
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Давай сформулируем:
Как всегда, расшифровка слов «тогда и только тогда» выглядит так:
- Если, то проходит через перпендикуляр к.
- Если проходит через перпендикуляр к, то.
(естественно, здесь и - плоскости).
Эта теорема - одна из самых важных в стереометрии, но, к сожалению, и одна из самых непростых в применении.
Так что нужно быть очень внимательным!
Итак, формулировка:
И снова расшифровка слов «тогда и только тогда». Теорема утверждает сразу две вещи (смотри на картинку):
давай попробуем применить эту теорему для решения задачи.
Задача : дана правильная шестиугольная пирамида. Найти угол между прямыми и.
Решение:
Из-за того, что в правильной пирамиде вершина при проекции попадает в центр основания, оказывается, что прямая - проекция прямой.
Но мы знаем, что в правильном шестиугольнике. Применяем теорему о трёх перпендикулярах:
И пишем ответ: .
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Перпендикулярность двух прямых.
Две прямые в пространстве перпендикулярны, если угол между ними.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости.
Перпендикулярность плоскостей.
Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен.
Критерий перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .
рис. 37 |
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а. |
рис. 38 |
Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость . |
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Замечания.
- Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.
- Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
- Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.
Задачи и тесты по теме "Тема 5. "Перпендикулярность прямой и плоскости"."
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
- Параллельность прямых, прямой и плоскости
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.
Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.