График ускорения по времени. Графическое представление равноускоренного прямолинейного движения
Урок на тему : «Скорость прямолинейного равноускоренного
движения. Графики скорости».
Обучающая цель : ввести формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжить формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, совершенствовать умения учащихся решать задачи аналитическим и графическим способами.
Развивающая цель : развитие у школьников теоретического, творческого мышления, формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений
Мотивационная цель : пробуждение интереса к изучению физики и информатики
Ход урока.
1.Организационный момент .
Учитель:- Здравствуйте,ребята.Сегодня на уроке мы изучим тему «Скорость»,повторим тему «Ускорение», на уроке мы с вами выучим формулу для определения мгновенной скорости тела в любой момент времени, продолжим формирование умения строить графики зависимости проекции скорости от времени,рассчитывать мгновенную скорость тела в любой момент времени, будем совершенствовать умения решать задачи аналитическим и графическим способами.Я рада видеть Вас на уроке здоровыми. Не удивляйтесь,что я с этого начала наш урок: здоровье каждого из вас -самое главное для меня и других учителей. Как вы думаете,что общего может быть между нашим здоровьем и темой «Скорость»?(слайд)
Учащиеся высказывают мнение по данному вопросу.
Учитель:- Знание по данной теме может помочь предугадывать возникновение ситуаций, опасных для жизни человека, например, возникающих при дорожном движении и др.
2.Актуализация знаний.
Повторение темы «Ускорение» проводится в виде ответов обучающихся на такие вопросы:
1.что такое ускорение (слайд);
2.формула и единицы измерения ускорения(слайд);
3.равнопеременное движение(слайд);
4.графики ускорения (слайд);
5. составьте задачу с использованием изученного материала.
6.Законы или определения, приведенные ниже,имеют ряд неточностей.Дайте правильные формулировки.
Перемещением тела называют отрезок ,соединяющий начальное и конечное положение тела.
Скорость равномерного прямолинейного движения- это путь , пройденный телом за единицу времени.
Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве.
Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит одинаковые пути.
Ускорение- это величина, численно равная отношению скорости ко времени.
Тело,у которого малые размеры,называется материальной точкой.
Основная задача механики состоит в том, чтобы знать положение тела
Кратковременная самостоятельная работа по карточкам-7 минут.
Красная карточка-оценка «5»;синяя карточка- оценка «4»;зеленая карточка- оценка «3»
.К 1
1.какое движение называется равноускоренным?
2.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.
3. Ускорение тела равно 5 м\с 2 , что это означает?
4. Скорость спуска парашютиста после раскрытия парашюта уменьшилась от 60 м\с до 5 м\с за 1,1 с. Найдите ускорение парашютиста.
1.Что называется ускорением?
3. Ускорение тела равно 3 м\с 2 . Что это означает?
4. С каким ускорением движется автомобиль, если за 10с его скорость увеличилась от 5 м\с до 10 м\с
1.Что называется ускорением?
2. Назовите единицы измерения ускорения?
3.Запишите формулу для определения проекции вектора ускорения.
4. 3. Ускорение тела равно 2 м\с 2 , что это означает?
3.Изучение нового материала .
1.Вывод формулы скорости из формулы ускорения. У доски под руководством учителя ученик пишет вывод формулы
2.Графическое представление движения.
На слайде презентации рассматривают графики скорости
.
4.Решение задач на данную тему по материалам ГИ А
Слайды презентации.
1. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите скорость тела в конце 5-ой секунды, считая, что характер движения тела не изменяется.
9 м/ с
10 м/ с
12 м/ с
14 м/ с
2.По графику зависимости скорости движения тела от времени. Найдите скорость тела в момент времени t = 4 с.
3.На рисунке изображен график зависимости скорости движения материальной точки от времени. Определите скорость тела в момент времени t = 12 с , считая, что характер движения тела не изменяется.
4.На рисунке приведен график скорости некоторого тела. Определите скорость тела в момент времени t = 2 с.
5.На рисунке представлен график зависимости проекции скорости грузовика на ось х от вре ме ни. Проекция ускорения грузовика на эту ось в момент t =3 с равна
6.Тело начинает прямолинейное движение из состояния покоя, и его ускорение меняется со временем так, как показано на графике. Через 6 с после начала движения модуль скорости тела будет равен
7.Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают равноускоренное движение. Ускорение мотоциклиста в 3 раза больше, чем у велосипедиста. В один и тот же момент времени скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста
1) в 1,5 раза
2) в √3 раза
3) в 3 раза
5.Итоги урока.(Рефлексия по данной теме.)
Что особенно запомнилось и поразило из учебного материала.
6.Домашнее задание .
7. Оценки за урок.
§ 14. ГРАФИКИ ПУТИ И СКОРОСТИ
Определение пути по графику скорости
В физике и математике используют три способа подачи информации о связи между различными величинами: а) в виде формулы, например, s =v ∙ t; б) в виде таблицы; в) в виде графика (рисунка).
Зависимость скорости от времени v(t) - график скорости изображается с помощью двух взаимно перпендикулярных осей. Вдоль горизонтальной оси будем откладывать время, а по вертикальной - скорость (рис. 14.1). Надо заблаговременно продумать масштаб, чтобы рисунок не был слишком большим или слишком малым. У конца оси указывают букву, которая является обозначением численно равна площади заштрихованного прямоугольника abcd величины, что на ней откладывается. Возле буквы указывают единицу измерения этой величины. Например, возле оси времени указывают t, с, а возле оси скорости v(t), мес. Выбирают масштаб и наносят деления на каждую ось.
Рис. 14.1. График скорости тела, равномерно движущегося со скоростью 3 м/сек. Путь, пройденный телом со 2-й по 6-ю секунды,
Изображение равномерного движения таблицей и графиками
Рассмотрим равномерное движение тела со скоростью 3 м/с, то есть числовое значение скорости будет постоянным в течение всего времени движения. Сокращенно это записывают так: v = const (константа, то есть постоянная величина). В нашем примере она равна трем: v = 3 . Вы уже знаете, что информацию о зависимости одной величины от другой можно подавать в виде таблицы (массива, как говорят в информатике):
Из таблицы видно, что во все указанные моменты времени скорость равна 3 м/сек. Пусть масштаб оси времени 2 кл. = 1 с, а оси скорости 2 кл. = 1 м/сек. График зависимости скорости от времени (сокращенно говорят: график скорости) приведены на рисунке 14.1.
С помощью графика скорости можно найти путь, который тело проходит за определенный интервал времени. Для этого нужно сопоставить два факта: с одной стороны, путь можно найти, умножив скорость на время, а с другой - произведение скорости на время, как видно из рисунка - это площадь прямоугольника со сторонами t и v.
Например, со второй до шестой секунды тело двигалось в течение четырех секунд и прошло 3 м/с ∙ 4 с = 12 м. Это площадь прямоугольника аbсd, длина которого равна 4 с (отрезок ad вдоль оси времени) и высота 3 м/с (отрезок аb вдоль вертикали). Площадь, правда, несколько необычная, поскольку измеряется не в м 2 , а в г. Следовательно, площадь под графиком скорости численно равна пройденному пути.
График пути
График пути s(t) можно изобразить, используя формулу s = v ∙ t, то есть в нашем случае, когда скорость составляет 3 м/с: s = 3 ∙ t. Построим таблицу:
Вдоль горизонтальной оси снова откладывают время (t, с), а вдоль вертикальной - путь. Возле оси пути пишем: s, м (рис. 14.2).
Определение скорости по графику пути
Изобразим теперь на одном рисунке два графика, которые будут соответствовать движениям со скоростями 3 м/с (прямая 2) и 6 м/с (прямая 1) (рис. 14.3). Видно, что чем больше скорость тела, тем круче линия точек графика.
Существует и обратная задача: имея график движения, нужно определить скорость и записать уравнение пути (рис. 14.3). Рассмотрим прямую 2. От начала движения и до момента времени t = 2 с тело прошло путь s = 6 м. Следовательно, его скорость: v = = 3 . Выбор другого интервала времени ничего не изменит, например, на момент t = 4 с путь, пройденный телом от начала движения, составляет s = 12 м. Отношение опять равна 3 м/сек. Но так и должно быть, поскольку тело движется с постоянной скоростью. Поэтому проще всего было бы выбрать интервал времени 1 с, ведь путь, пройденный телом за одну секунду, численно равна скорости. Путь, пройденный первым телом (график 1) за 1 с, равна 6 м, то есть скорость первого тела равна 6 м/сек. Соответствующие зависимости пути от времени в этих двух тел будут:
s 1 = 6 ∙ t и s 2 =3 ∙ t.
Рис. 14.2. График пути. Остальные точек, кроме шести, указанных в таблице, поставленные в задании, что движение упровдож всего времени был равномерным
Рис. 14.3. График пути в случае разных скоростей
Подведем итоги
В физике используют три способа подачи информации: графический, аналитический (по формулам) и таблицей (массивом). Третий способ более приспособлен для решения на компьютере.
Путь численно равен площади под графиком скорости.
Чем круче график s(t), тем больше скорость.
Творческие задания
14.1. Начертите графики скорости и пути, когда скорость тела равномерно увеличивается, или уменьшается.
Упражнение 14
1. Как определяют путь на графике скорости?
2. Можно ли записать формулу для зависимости пути от времени, имея график s(t)?
3. Или изменится угол наклона графика пути, если масштаб на осях уменьшить вдвое?
4. Почему график пути равномерного движения изображается прямой?
5. Какое из тел (рис. 14.4) имеет наибольшую скорость?
6. Назовите три способа представления информации о движении тела, а также (по вашему мнению) их преимущества и недостатки.
7. Как можно определить путь по графику скорости?
8. а) Чем отличаются графики пути для тел, движущихся с разными скоростями? б) Что в них общего?
9. По графику (рис. 14.1) найдите путь, пройденный телом от начала первой до конца третьей секунды.
10. Какой путь прошло тело (рис. 14.2) за: а) две секунды; б) четыре секунды? в) Укажите, где начинается третья секунда движения, и где она заканчивается.
11. Изобразите на графиках скорости и пути движение со скоростью а) 4 м/с; б) 2 м/сек.
12. Запишите формулу зависимости пути от времени для движений, изображенных на рис. 14.3.
13. а) Найдите скорости тел по графикам (рис. 14.4); б) запишите соответствующие уравнения пути и скорости. в) Постройте графики скорости этих тел.
14. Постройте графики пути и скорости для тел, движения которых заданы уравнениями: s 1 = 5 ∙ t и s 2 = 6 ∙ t. Чему равны скорости тел?
15. По графикам (рис. 14.5) определите: а) скорости тела; б) пути, пройденные ими за первые 5 сек. в) Запишите уравнение пути и постройте соответствующие графики для всех трех движений.
16. Начертите график пути для движения первого тела относительно второго (рис. 14.3).
План-конспект урока по теме « »
Дата:
Тема: Графики пути и скорости при равномерном прямолинейном движении
Цели:
Образовательная: формирование знаний и представлений графиках пути и скорости при равномерном прямолинейном движении;
Развивающая: развитие и формирование практических умений пользоваться физическими понятиями и величинами для описания равномерного прямолинейного движения; развивать познавательный интерес;
Воспитательная: прививать культуру умственного труда, аккуратность, учить видеть практическую пользу знаний, продолжить формирование коммуникативных умений, воспитывать внимательность, наблюдательность.
Тип урока: урок усвоения новых знаний
Оборудование и источники информации:
Исаченкова, Л. А. Физика: учеб. для 7 кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, А. А. Сокольский; под ред. А. А. Сокольского. Минск: Народная асвета, 2017.
Структура урока:
Организационный момент(5 мин)
Актуализация опорных знаний(5мин)
Изучение нового материала (14 мин)
Физкультминутка (3 мин)
Закрепление знаний (13мин)
Итоги урока(5 мин)
Содержание урока
Организационный момент (проверка присутствующих в классе, проверка выполнения домашнего задания, озвучивание темы и основных целей урока)
Актуализация опорных знаний
№ 1. Закончите фразы.
Скорость при равномерном прямолинейном движении с течением времени __________________________________________________________________
Скорость в СИ измеряется ________________________________________
Пройденный путь при равномерном движении с течением времени _______________________________________________________________
№ 2. Есть способ получения формул с помощью «треугольника памяти» (рис. 1). Если закрыть символ величины, которую нужно определить, то в треугольнике (открытой части) остается формула для ее вычисления. Получите и запишите формулы для вычисления пути s , скорости и промежутка времени t .
Изучение нового материала
Можно ли выразить связь пути s и времени t не через формулы, а каким-либо другим способом? Для этого используются графики.
Поясним суть графического метода на конкретном примере. Пусть самолет движется равномерно и прямолинейно со скоростью v = 900 (рис. 96). Опишем движение самолета графически, т. е. построим графики зависимости пути и скорости движения самолета от времени движения.
Путь s от начального момента времени t 0 до момента времени t равен v ( t - t 0 ). Начальный момент времени t 0 примем за нуль ( t 0 = 0). Тогда формула пути упростится: s = vt .
Найдем значения пути для различных значений промежутка времени и занесем их в таблицу 1.
Теперь построим график зависимости пути от времени. По оси абсцисс в определенном масштабе (например, 1 см - 1ч) будем откладывать промежутки времени движения, а по оси ординат (в масштабе 1 см - 900 км) - путь (рис. 97).
Прямая I выражает графическую зависимость пути от времени равномерного движения самолета. Эту прямую называют графиком пути. График пути напоминает известный вам из математики график функции у = kx , выражающей прямую пропорциональную зависимость у от х.
Ценность графика пути в том, что он, как и соотношение s = vt , позволяет решить главную задачу - найти путь s , пройденный телом за произвольный промежуток времени t .
Например, нас интересует путь самолета за промежуток времени t = 4 ч. Для этого из точки на горизонтальной оси, соответствующей времени t = 4 ч (см. рис. 97), проводим перпендикуляр до пересечения с графиком (точка К). Из найденной точки К опускаем перпендикуляр на ось ординат и получаем ответ без вычислений. Путь s = 3600 км.
А что представляет собой график скорости ? Он выражает зависимость скорости от времени. Так как скорость с течением времени не изменяется, то различным моментам времени соответствует одно и то же значение скорости. Составим таблицу 2 и построим прямую, выражающую зависимость скорости от времени, откладывая по оси абсцисс время, а по оси ординат - скорость (рис. 98).
График скорости равномерного прямолинейного движения - прямая, параллельная оси времени.
Прямая II изображает график скорости движения самолета. Что дает график скорости? Он не только показывает значение скорости, но и позволяет найти пройденный путь. Рассчитаем путь самолета за промежуток времени t = 2 ч. Согласно формуле s = vt этот путь s = 900 2 ч = 1800 км. Посмотрим на это произведение с точки зрения геометрии. Первый множитель (900 выражает одну сторону закрашенного прямоугольника (см. рис. 98), второй (2 ч) - другую. Из математики вы уже знаете, что перемножением сторон а и b находят площадь S прямоугольника (рис. 99).
Конечно, площадь не есть путь, речь идет только о численном равенстве. Пройденный путь численно равен площади фигуры под графиком скорости.
Площадью фигуры под графиком скорости определяется путь не только при равномерном прямолинейном, но и при любом другом движении. Например, путь за промежуток времени (см. рис.) численно равен площади закрашенной фигуры:
s =
Физкультминутка
Закрепление знаний
А сейчас поработаем с карточками по теме «Графики пути и скорости при равномерном прямолинейном движении» (приложение 1)
№ 1.
Ответ: в 4 движении на прохождение одного и того же пути затрачено больше времени.
№ 2.
Ответ: в движении 1 пройден больший путь за один и тот же промежуток времени, т.к. s = v / t (в 1 движении скорость больше, чем в случае 2, поэтому и путь будет больше в случае 1)
№ 3.
t
= 2,0 ч?
Ответ:
автобус проехал путь 10 км за 15 мин;
15 мин автобус ехал без остановок, а затем совершил остановку продолжительностью: 1ч 15 мин – 30 мин = 40 мин;
до остановки автобус двигался со скоростью :
а после остановки ехал со скоростью: .
За время 2 ч автобус проехал путь 60 км.
№ 4.
За промежуток времени
t
Ответ:
а) график 1 соответствует движению Нади;
б)
Следовательно, скорость движения Нади в раза меньше, чем у Игоря.
№ 5.
Ответ:
а) жук сначала двигался, потом отдыхал, а затем снова двигался;
б) в конце 3-й секунды скорость движения равна 2 , а в конце 11-й секунды скорость движения равна 3 ;
в) s = v * t = 3 = 36 м.
Нет, т.к. жук двигается медленнее
№ 6.
t
= 4 с?
Ответ:
Движение велосипедиста было равномерным прямолинейный. Он двигался со скорость 8 . s = v * t = 8 * 4 c = 32 м.
№ 7.
Ответ:
Движение равномерное прямолинейное. За все время движения легкоатлет пробежал путь s = 6 км. За 15 мин он пробежал путь .
Итоги урока
Итак, подведем итоги:
График пути выражает зависимость пройденного пути от времени движения тела.
Путь при равномерном прямолинейном движении можно определить по формуле s = vt , по графику пути или с помощью графика скорости.
Организация домашнего задания
§17,ответить на контрольные вопросы.
Рефлексия
Продолжите фразы:
Сегодня на уроке я узнал…
Было интересно…
Знания, которые я получил на уроке, пригодятся.
Приложение 1
Карточка по теме «Графики пути и скорости при равномерном прямолинейном движении»
Выполните задания и решите задачи
№ 1.
В каком из движений (рис. 2.) на прохождение одного и того же пути затрачено больше времени?
№ 2.
В каком из движений, графики скорости которых представлены на рисунке 3, пройден больший путь за один и тот же промежуток времени?
№ 3.
По графику (рис. 4) зависимости пути от времени движения автобуса определите, какой путь прошел автобус за промежуток времени. Определите промежуток времени движения автобуса до остановки и время остановки. С какой скоростью двигался автобус до и после остановки? Какой путь проехал автобус за время
t
= 2,0 ч?
№ 4.
За промежуток времени
t
= 4 с Надя проехала на велосипеде путь
а Игорь за этот же промежуток времени – путь Определите:
а) какой из графиков зависимости пути от времени (рис. 5) соответствует движению Нади;
б) во сколько раз отличаются скорости движения Нади и Игоря.
№ 5.
Дан график скорости движения жука. По графику (рис. 6) определите:
а) характер движения; б) скорость жука в конце 3-й и 11-й секунд движения; в) путь, пройденный жуком за время t = 12 с. Может ли график описывать реальное движение жука?
№ 6.
На рисунке 7 представлен график зависимости скорости движения велосипедиста на прямолинейном участке дороги от времени. Каким было движение велосипедиста? С какой скоростью он двигался? Какой путь проехал велосипедист за время
t
= 4 с?
№ 7.
По графику (рис.8) зависимости пути от времени определите скорость и время движения легкоатлета. Какое это движение? Какой путь пробежал легкоатлет за все время движения? За какое время он пробежал путь
Постройте график зависимости скорости движения спортсмена от времени.
Равноускоренное движение - это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение - частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.
Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.
В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.
Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y - равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.
Формула для скорости при равноускоренном движении:
Здесь v 0 - начальная скорость тела, a = c o n s t - ускорение.
Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v (t) имеет вид прямой линии.
Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.
a = v - v 0 t = B C A C
Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.
Для первого графика: v 0 = - 2 м с; a = 0 , 5 м с 2 .
Для второго графика: v 0 = 3 м с; a = - 1 3 м с 2 .
По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?
Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .
Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .
s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t .
Мы знаем, что v - v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:
s = v 0 t + a t 2 2
Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.
Закон равноускоренного движения
Закон равноускоренного движенияy = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .
Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения - нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.
Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:
s = v 2 - v 0 2 2 a .
По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:
v = v 0 2 + 2 a s .
При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s
Важно!
Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
«Физика - 10 класс»
Чем отличается равномерное движение от равноускоренного?
Чем отличается график пути при равноускоренном движении от графика пути при равномерном движении?
Что называется проекцией вектора на какую-либо ось?
В случае равномерного прямолинейного движения можно определить скорость по графику зависимости координаты от времени.
Проекция скорости численно равна тангенсу угла наклона прямой x(t) к оси абсцисс. При этом, чем больше скорость, тем больше угол наклона.
Прямолинейное равноускоренное движение.
На рисунке 1.33 изображены графики зависимости проекции ускорения от времени для трёх разных значений ускорения при прямолинейном равноускоренном движении точки. Они представляют собой прямые линии, параллельные оси абсцисс: а х = const. Графики 1 и 2 соответствуют движению, когда вектор ускорения направлен вдоль оси ОХ, график 3 - когда вектор ускорения направлен в противоположную оси ОХ сторону.
При равноускоренном движении проекция скорости зависит от времени линейно: υ x = υ 0x + a x t. На рисунке 1.34 представлены графики этой зависимости для указанных трёх случаев. При этом начальная скорость точки одинакова. Проанализируем этот график.
Проекция ускорения Из графика видно, что, чем больше ускорение точки, тем больше угол наклона прямой к оси t и соответственно больше тангенс угла наклона, который определяет значение ускорения.
За один и тот же промежуток времени при разных ускорениях скорость изменяется на разные значения.
При положительном значении проекции ускорения за один и тот же промежуток времени проекция скорости в случае 2 увеличивается в 2 раза быстрее, чем в случае 1. При отрицательном значении проекции ускорения на ось ОХ проекция скорости по модулю изменяется на то же значение, что и в случае 1, но скорость уменьшается.
Для случаев 1 и 3 графики зависимости модуля скорости от времени будут совпадать (рис. 1.35).
Используя график зависимости скорости от времени (рис 1.36), найдём изменение координаты точки. Это изменение численно равно площади заштрихованной трапеции, в данном случае изменение координаты за 4 с Δx = 16 м.
Мы нашли изменение координаты. Если необходимо найти координату точки, то к найденному числу нужно прибавить её начальное значение. Пусть в начальный момент времени х 0 = 2 м, тогда значение координаты точки в заданный момент времени, равный 4 с, равно 18 м. В данном случае модуль перемещения равен пути, пройденному точкой, или изменению её координаты, т. е. 16 м.
Если движение равнозамедленное, то точка в течение выбранного интервала времени может остановиться и начать двигаться в направлении, противоположном начальному. На рисунке 1.37 показана зависимость проекции скорости от времени для такого движения. Мы видим, что в момент времени, равный 2 с, направление скорости изменяется. Изменение координаты будет численно равно алгебраической сумме площадей заштрихованных треугольников.
Вычисляя эти площади, мы видим, что изменение координаты равно -6 м, это означает, что в направлении, противоположном оси ОХ, точка прошла большее расстояние, чем по направлению этой оси.
Площадь над осью t берём со знаком «плюс», а площадь под осью t, где проекция скорости отрицательна, - со знаком «минус».
Если в начальный момент времени скорость некоторой точки была равна 2 м/с, то координата её в момент времени, равный 6 с, равна -4 м. Модуль перемещения точки в данном случае также равен 6 м - модулю изменения координаты. Однако путь, пройденный этой точкой, равен 10 м - сумме площадей заштрихованных треугольников, показанных на рисунке 1.38.
Изобразим на графике зависимость координаты х точки от времени. Согласно одной из формул (1.14) кривая зависимости координаты от времени - x(t) - парабола.
Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости которой от времени изображён на рисунке 1.36, то ветви параболы направлены вверх, так как а х > 0 (рис. 1.39). По этому графику мы можем определить координату точки, а также скорость в любой момент времени. Так, в момент времени, равный 4 с, координата точки равна 18 м.
Для начального момента времени, проводя касательную к кривой в точке А, определяем тангенс угла наклона α 1 , который численно равен начальной скорости, т. е. 2 м/с.
Для определения скорости в точке В проведём касательную к параболе в этой точке и определим тангенс угла α 2 . Он равен 6, следовательно, скорость равна 6 м/с.
График зависимости пути от времени - такая же парабола, но проведённая из начала координат (рис. 1.40). Мы видим, что путь непрерывно увеличивается со временем, движение происходит в одну сторону.
Если движение точки происходит со скоростью, график зависимости проекции которой от времени изображён на рисунке 1.37, то ветви параболы направлены вниз, так как а x < 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.
Начиная с момента времени t = 2 с, тангенс угла наклона становится отрицательным, а его модуль увеличивается, это означает, что движение точки происходит в направлении, противоположном начальному, при этом модуль скорости движения увеличивается.
Модуль перемещения равен модулю разности координат точки в конечный и начальный моменты времени и равен 6 м.
График зависимости пройденного точкой пути от времени, показанный на рисунке 1.42 отличается от графика зависимости перемещения от времени (см. рис. 1.41).
Как бы ни была направлена скорость, путь, пройденный точкой, непрерывно увеличивается.
Выведем зависимость координаты точки от проекции скорости. Скорость υx = υ 0x + a x t, отсюда
В случае x 0 = 0 а х > 0 и υ x > υ 0x график зависимости координаты от скорости представляет собой параболу (рис. 1.43).
При этом, чем больше ускорение, тем ветвь параболы будет менее крутой. Это легко объяснить, так как, чем больше ускорение, тем меньше расстояние, которое должна пройти точка, чтобы скорость увеличилась на то же значение, что и при движении с меньшим ускорением.
В случае а х < 0 и υ 0x > 0 проекция скорости будет уменьшаться. Перепишем уравнение (1.17) в виде где а = |а x |. График этой зависимостимости - парабола с ветвями, направленными вниз (рис. 1.44).
Ускоренное движение.
По графикам зависимости проекции скорости от времени можно определить координату и проекцию ускорения точки в любой момент времени при любом типе движения.
Пусть проекция скорости точки зависит от времени так, как показано на рисунке 1.45. Очевидно, что в промежутке времени от 0 до t 3 движение точки вдоль оси X происходило с переменным ускорением. Начиная с момента времени, равного t 3 , движение равномерное с постоянной скоростью υ Dx . По графику мы видим, что ускорение, с которым двигалась точка, непрерывно уменьшалось (сравните угол наклона касательной в точках В и С).
Изменение координаты х точки за время t 1 численно равно площади криволинейной трапеции OABt 1 , за время t 2 - площади OACt 2 и т. д. Как видим по графику зависимости проекции скорости от времени можно определить изменение координаты тела за любой промежуток времени.
По графику зависимости координаты от времени можно определить значение скорости в любой момент времени, вычисляя тангенс угла наклона касательной к кривой в точке, соответствующей данному моменту времени. Из рисунка 1.46 следует, что в момент времени t 1 проекция скорости положительна. В промежутке времени от t 2 до t 3 скорость равна нулю, тело неподвижно. В момент времени t 4 скорость также равна нулю (касательная к кривой в точке D параллельна оси абсцисс). Затем проекция скорости становится отрицательной, направление движения точки изменяется на противоположное.
Если известен график зависимости проекции скорости от времени, можно определить ускорение точки, а также, зная начальное положение, определить координату тела в любой момент времени, т. е. решить основную задачу кинематики. По графику зависимости координаты от времени можно определить одну из самых важных кинематических характеристик движения - скорость. Кроме этого, по указанным графикам можно определить тип движения вдоль выбранной оси: равномерное, с постоянным ускорением или движение с переменным ускорением.